Базовый элемент что это такое в математике

Элемент (математика)

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Содержание

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества — наивная и аксиоматическая теория множеств.

«Наивная теория множеств»

Дать определение какому-нибудь понятию — это значит описать это понятие через понятия, определённые ранее. Если число определений в теории конечно, то первое определение должно быть основано на понятиях, которые являются аксиоматическими, то есть изначально неопределёнными. Множество — как раз одно из таких аксиоматических понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определённый набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, возникающим из-за того, что интуитивное понятие «чётко определённый» на самом деле само не определено чётко. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий, становится очевидной необходимость её строгой аксиоматизации.

Наивная теория множеств была создана Кантором в конце XIX века.

История определения

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

Множество множеств Подмножество Надмножество

Источник

Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

Умножение матрицы на число

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Источник

Базовые элементы общей алгебры

May 13, 2016 · 8 min read

Очень краткое введение в общую алгебру.

Множества

Самым базовым понятием математики в целом является множество (по-английски — set). Формального определения множества не существует, но неформальное достаточно простое:

множество — это набор различных объектов, которые обычно называются «элементами множества».

Впрочем, помимо такого «наивного» представления о множествах, существует гораздо более строгое — так называемая аксиоматическая теория множеств, но не будем об этом, пока достаточно наивного представления.

Примеры множеств: множество стульев в комнате, множество натуральных чисел (1, 2, 3 и т.д.) Есть также специальное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустое множество, и обозначается как ∅.

И тут мы плавно по д ходим к чрезвычайно важному моменту — формальной нотации. Нотация или система обозначений играет очень важную роль в математике, по суть это отдельный язык, который позволяет чётко, понятно и однозначно выражать мысли на языке математики. Символ пустого множества (∅) является одним из знаков этой нотации.

Множество принято в математической нотации определять фигурными скобками, например, множество из трёх чисел 1, 2 и 3 пишется так:

Множество не является упорядоченным набором объектов, поэтому <1, 2, 3>и <3, 2, 1>определяют одно и то же множество. Также в множестве не может быть двух одинаковых объектов, к примеру, <1, 1, 2, 2, 3>множеством не является.

Принадлежность элемента множеству обозначается знаком ∈, например:

Читается такая фраза как «2 принадлежит множеству <1, 2, 3, 4, 5>».

Подмножеством называется множество, состоящее из элементов заданного множества, например:

Читается как « <1, 2>является подмножеством множества <1, 2, 3, 4, 5>», соответственно, новый значок — ⊆, по-английски подмножество называется subset.

Пустое множество является подмножеством любого множества (∅ ⊆ S, здесь через S обозначаем какое-нибудь множество).

Множество является подмножеством самого себя ( S ⊆ S). Как следствие — ∅ ⊆ ∅, то есть, пустое множество является подмножеством пустого множества.

Кортеж

Упорядоченный набор элементов называется кортеж (по-английски tuple). В формальной нотации принято кортеж изображать как список элементов в круглых скобках:

В отличие от множества, кортеж имеет структуру — все элементы в нём упорядочены, также в кортеже могут встречаться повторяющиеся элементы.

Множества типа <1, 2, 3>, состоящие из конечного количества элементов, называются конечными. Соответственно, существуют и бесконечные множества, например, множество натуральных чисел:

Множество натуральных чисел принято обозначать специальным знаком ℕ или, если нет возможности такое написать, просто латинской N.

Множество целых чисел обозначается знаком ℤ и состоит из натуральных чисел, нуля и отрицательных чисел:

Бесконечное множество, которое можно пересчитать, называется дискретным или счётным. Множества ℕ и ℤ — счётные. А слово пересчитать означает, что мы можем каждый элемент счётного множества S пронумеровать числами от 1 до бесконечности, однозначно сопоставив элементы множества S элементам множества ℕ.

Вот как можно пересчитать множество целых чисел:

Простым перечислением можно описать далеко не все множества, часто используется специальная нотация, описывающая общий механизм выбора элементов для множества. К примеру множество ℚ (все дроби, в числителе и знаменателе которых стоят целые числа, множество рациональных чисел), принято определять так:

Общая схема такой нотации:

Словами схему множества ℚ обычно произносят примерно так: множество ℚ состоит из таких дробей a/b, что a и b являются целыми числами и при этом b не равно нулю.

Множество натуральных чисел ℕ можно в этой нотации описать так:

Кстати, множество ℚ также является счётным, то есть для него можно описать явную схему сопоставления элементам из ℤ. При этом ℤ является подмножеством ℚ.

Следующим пример — множество вещественных чисел, также называется множеством действительных чисел, обозначается знаком ℝ. Определяется обычно так: множество всех рациональных чисел плюс множество чисел, не являющихся рациональными, то есть иррациональных. Примеры иррациональных чисел: π, √2 (квадратный корень из двух).

Множество вещественных чисел не является счётным. Доказательство этому факту можно найти в википедии, оно достаточно простое, но я его здесь не буду приводить.

Мощностью множества называется количество содержащихся в нём элементов. Это весьма нестрогое определение и оно является по-настоящему корректным только для конечных множеств.

Мощность множества в математической нотации обозначается так:

Мощность пустого множества равна нулю: |∅| = 0

Строго говоря, |M| не является конечным целым числом, например, мощность множества целых чисел является бесконечной, аналогично для множества вещественных чисел. Однако эти бесконечности не равны:

Однако мощности можно сравнивать отношением больше/меньше, в нашем случае:

Также в дальнейшем нам понадобится особый тип множеств, называемый прямым произведением или декартовым произведением множеств.

Пусть A и B — некоторые множества, сконструируем новое множество таким образом:

(a, b) — это кортеж из двух элементов, а всё множество A×B называется прямым (или декартовым) произведением множеств A и B.

A×B состоит из пар, где в первой позиции элемент множества A, а на второй — элемент из множества B. Определение можно продолжить и на бо́льшее количество множеств, например, A×B×C — декартово произведение трёх множеств.

A×A — прямое произведение множества на само себя.

Операции

На множестве можно определить операцию.

Операция — это отображение, ставящее в соответствие нескольким элементам множества другой элемент множества. Можно считать, что операция — это функция, принимающая в качестве аргументов несколько элементов множества и возвращающая также элемент множества.

В формальной нотации операция с именем f задаётся примерно так:

f : X → M,
где X — декартово произведение множества M на себя, например, M×M или M×M×M.

X называется областью определения, а M в данном случае — областью значений.

Операция называется унарной, если областью определения является само множество M. Унарная операция переводит один элемент множества в другой. Например, операция sqr, заданная на множестве целых чисел ℤ и выполняющая возведение числа в квадрат:

Или операция p, переводящая любой элемент множества в некоторый фиксированный элемент p₁:

Бинарная операция действует на декартовом произведении множества на себя и сопоставляет паре элементов множества какой-то другой элемент. Самый простой пример бинарной операции — умножение на множестве целых чисел ℤ. Для удобства бинарные операции часто пишут в виде:

a • b (произносится как «a точка b» или «a умножить на b»)

вместо «функционального» обозначения

Алгебраические структуры

В математике очень важно уметь абстрагироваться, базовые вещи можно объяснить «на пальцах», но настоящего понимания это не даст. Для погружения в тему нужно освоить математическую нотацию и математический формализм. Выше по тексту я постарался описать основные принципы формализма на примере определения разных множеств, а теперь буду погружать в формализм глубже.

Общая алгебра изучает алгебраические структуры. В общем случае алгебраическая структура состоит из множества (или нескольких множеств), набора операций, набора аксиом. Примеры структур: группы, кольца и поля.

Это несколько пугающее определение, пугающее непонятным сухим формализмом, но я постараюсь дальше его раскрыть и прояснить.

Итак, основа любой алгебраической структуры — множество. Множество само по себе является алгебраической структурой, но ущербной, никаких особых свойств у такой структуры нет.

Группоид

Следующая по сложности структура — группоид (другое название — магма). Группоид — это множество с бинарной операцией, замкнутое относительно этой операции. В нотации это выглядит примерно так:

Читается как «множество с операцией точка». Операция • (точка) бинарная, то есть она на вход получает два значения, а на выходе даёт одно. Фразу «замкнутое относительно операции» нужно понимать так: «результат выполнения операции над элементами множества принадлежит этому же множеству». Вот обозначение в формальной нотации:

Читается это так: «для любых элементов a и b из множества M, a•b принадлежит этому же множеству». Это аксиома замкнутости. Знак ∀ называется квантором всеобщности и читается как «для каждого …».

Таким образом, группоид состоит из множества, операции и аксиомы замкнутости.

Простейшим примером является множество целых чисел ℤ с операцией умножения; очевидно, что умножение двух целых чисел даёт такое же целое число, то есть, множество целых чисел замкнуто относительно умножения.

А вот множество целых чисел с операцией деления не является замкнутым.

Также не является замкнутым множество ℕ относительно операции вычитания.

Полугруппа

Группоид с дополнительной аксиомой ассоциативности называется полугруппой. Формальное определение:

алгебраическая структура (M,•) называется полугруппой, если выполняются два условия:
1) ∀ a, b ∈ M : a•b ∈ M
2) ∀ a, b, c ∈ M : (a•b)•c = a•(b•c)

Аксиома 2) называется свойством ассоциативности. Запись ( a• b)• c означает, что мы сначала вычисляем результат операции a• b, получаем в результате какое-то элемент множества (назовём его d), а дальше вычисляем результат d• c. Другими словами, ассоциативность означает, что порядок вычисления неважен.

Очевидно, что ℤ с операцией умножения является полугруппой.

А вот алгебраическая структура (ℤ,−) не является полугруппой, хотя и является группоидом, так как операция вычитания не является ассоциативной. Это доказывается элементарно:

(a − b) − c = a − b − c
a − (b − c) = a − b + c

Моноид

Полугруппа с единицей называется моноидом. Формальное определение:

алгебраическая структура (M,•) называется моноидом, если выполняются три условия:
1) ∀ a, b ∈ M : a•b ∈ M
2) ∀ a, b, c ∈ M : (a•b)•c = a•(b•c)
3) ∃ e ∈ M : ∀ a ∈ M : a•e = e•a = a

Условие 3) называется существованием единицы, а целиком читается так: в множестве M существует такой элемент e, что для любого элемента a из множества M выполняется равенство a•e = e•a = a. Знак ∃ называется квантором существования.

Единица e в моноиде является единственной, это элементарно выводится из 3):

допустим, существует вторая единица, отличающаяся от e:
∃ e₁ ≠ e : ∀ a ∈ M : a•e ₁ = e ₁•a = a
Если в качестве a взять e, то получится:
e•e ₁ = e ₁•e = e,
однако, по свойству 3) (если в качестве a взять e₁)
e ₁•e = e•e ₁ = e ₁
то есть, e ₁=e

ℤ с операцией умножения является не только группоидом и полугруппой, но ещё и моноидом, при этом единицей e является число 1.

Множество натуральных чисел ℕ= <1, 2, 3, 4…>с операцией сложения является полугруппой, но не является моноидом, так как элемента e не существует. Но если мы добавить в ℕ нуль, то получим уже моноид, и нуль в роли единицы e.

Группа

Группой называется моноид, в котором для каждого элемента существует обратный, вот формальное определение:

алгебраическая структура (M,•) называется группой, если выполняются четыре условия:
1) ∀ a, b ∈ M : a•b ∈ M
2) ∀ a, b, c ∈ M : (a•b)•c = a•(b•c)
3) ∃ e ∈ M : ∀ a ∈ M a•e = e•a = a
4) ∀ a ∈ M ∃ x ∈ M : a•x = x•a = e

Условие 4) как раз постулирует существование обратного элемента. Обратный элемент к a принято обозначать как aˉ¹.

Из условий определения группы легко выводится, что обратный элемент (для заданного a) единственный:

действительно, пусть для элемента a существуют два разных обратных: x и y. То есть:
a•x = e
«Умножим» это выражение слева на y:
y•(a•x) = y•e, очевидно, y•e=y, с другой стороны, по условию 2) (ассоциативность):
(y•a)•x = e•x = x (так как y•a=a•y=e),
то есть получаем, что x=y.

Группы являются одними из самых изучаемых алгебраических структур и примеров групп чрезвычайно много, причём в самых разных областях.

Например, группой является множество целых чисел с операцией сложения (ℤ,+). Единицей в этой группе выступает число нуль, соответственно, обратный элемент для a — это − a.

Множество целых чисел с операцией умножения не является, очевидно, группой.

А вот множество положительных рациональных чисел с операцией умножения — является. Напомню, что множество рациональных чисел ℚ — это множество дробей с целыми числителем и знаменателем:

А множество ℚ’ положительных рациональых чисел определим так:

В группе (ℚ’,*) единицей является число 1, а обратным для элемента p/q является элемент q/p.

Коммутативность

Отдельно нужно отметить важный момент: операция в общем случае не является коммутативной. То есть в общем случае: a•b≠b•a.

Все выше рассмотренные примеры группы были коммутативными, то есть операция в них коммутативна:

Коммутативная группа также называется абелевой группой. Соответственно, группа назывется некоммутативной, если найдётся хотя бы одна пара элементов, которые не перестановочны для операции:

К сожалению, простого примера некоммутативной группы я не знаю. Из непростых: группа обратимых матриц, симметрическая группа S3.

Источник

«Число, величина, множество». Формирование элементарных математических представлений у дошкольников (часть 1)

Юлия Поликарпова
«Число, величина, множество». Формирование элементарных математических представлений у дошкольников (часть 1)

«Формирование элементарных математических представлений у дошкольников»

Методика математических понятий.

Для чего следует изучать математику? Издавна каждый человек изучал и знал математику. Чем вызван интерес к этой науке, и почему по словам немецкого ученого Гаусса «Математика – царица наук». Наше мышление, перерабатывая восприятия и ощущения окружающего мира, подсказывает нам, как поступить в той или иной ситуации (учебная или бытовая). От того, как зависит наше мышление, правильно мы поступаем или нет.

Мышление – восприятие окружающей действительности. Основное качество мышления – это его логичность, т. е. умение делать правильные выводы.

Математика – способствует развитию логического мышления.

Логичность – основное качество мышления.

Математика практическая – это практическая логика. Как это понимать? В не каждое новое положение формируется на основе раннее известных, т. е. все строго доказывается.

Логика – установление причинно-следственных связей. Развивается к 7-8 годам.

Главное качество мышления – это логика. Почему именно в дошкольном возрасте стоит изучать математику? Дошкольный возраст это значимый период в жизни каждого человека (это бурный физический рост, это развитие коры головного мозга). Это развитие потребности интересов, ведущие из которых позновательные. Ребенок все впитывает. В дошкольном возрасте детям не только нужно дать объем знаний, но и сформировать предпосылки для успешного обучения в школе. Основные математичские понятия заложенные в программе – цифра, число, счет, т. е. множество (один, много, ниодного).

Множество

Множество – это совокупность элементов, которые воспринимаются как единое целое. Множество состоит из элементов. Множество ассоциируется с понятием группа. Чем больше элементов во множестве, тем множество мощнее. В детском саду множества могут быть конечными, бесконечными, пустыми и состоять из пяти элементов.

1. Конечные множества – это такие элементы, которые можно посчитать;

2. Бесконечное множество – это такое множество, в которых элементы посчитать невозможно (натуральный ряд чисел, звезды, песчинки);

3. Дискретные или непрерывные множества – это такое множество в которых каждый элемент можно воспринимать отдельно;

4. Непрерывные множества – когда элементы отдельно не воспринимаются (длина стола, стакан воды);

5. Упорядоченное множество – в которых между элементами существует порядок (натуральный ряд чисел);

Множество предметов и явлений ребенком воспринимается различными анализаторами.

1-2 года. К 1-2 годам у детей накапливаются представления о множестве однородных предметов, которые отражаются в пассивной речи детей (построить домик и домики – единственное и множественное число).

Затем в активной речи дети начинают использовать множественное и единственное число. На этом этапе множество еще не имеет четких границ для ребенка и не воспринимается элемент за элементом, не осознается количественная сторона множества.

Дети понимают смысл слова «много» и «мало», но эти слова не имеют четкой количественной характеристики, ассоциируются со словами «большой», «маленький».

2-3 года. Дети воспринимают множество в его границах, умеют сосредотачивать свое внимание на границах множества, а четкое понимание внутренних элементов еще отсутствует. При наложении предметов на рисунки дети заполняют всю часть карточки между крайними элементами, но не воспринимают количество. Легче воспринимают множество, если оно расположено линейно, в ряд.

3-4 года. Ребенок становится более требовательным к однородному составу множества, т. е. он считает, что множество всегда состоит из однородных элементов. На восприятие множества еще оказывают влияние качественно-пространственные признаки (форма, величина, расстояние между элементами, расположение по-разному в пространстве).

4-5 лет. На этом этапе восприятие только однородных множеств играет отрицательную роль, поэтому необходимо предлагать детям производить различные операции с множествами: составлять единое множество из 2-х групп, каждая из которых обладает своими качественными особенностями, несущественными для всего множества в целом.

Число

Число – это отвлеченное понятие любого количества элементов. Почему знакомство с числом мы не начинает с трехлетними малышами, потому трехлетний ребенок еще не осознает, у него наглядно-действенное представление.

3-4 года. Дети используют слова-числительные, но не понимают, что такое число. На этом этапе дети способны лишь сравнивать различные множества путем установления взаимнооднозначного соответствия.

4-5 лет. Дети могут сравнивать числа на основе сравнения множеств, но не воспринимают число абстрактно, без множества.

5-6 лет. Способны сравнивать любые числа на основе свойства транзитивности. При измерении понимают число как результат измерения, т. е. как отношение всей величины (целого) к условной мерке (части). Понимают, что число служит лишь показателем количества. Происходит абстрагирование числа от конкретных множеств.

Числа бывают: порядковые – первый, второй, третий, количественные – один, два, три, числительные. Простые, которые делятся без остатка только на себя и на еденицу, стосавные (сложные, которые делятся без остатка не только на себя, но и на другие числа, однозначные, двузначные…

Называние чисел по порядку называется натуральной последовательностью чисел.

Цифра – это условное обозначение числа. Число мы называем, а цифру мы показываем. «Ребята, покажите цифру числа пять»

Величина

Это отличительный признак любого предмета. Свойства величины: (для дошкольников):

1. Сравнимость. Только при сравнении предметов о каждом можно сказать большой он или маленький (для показа необходимо два предмета);

2. Относительность – один и тот же предмет может быть большим или маленьким в зависимости от того, с чем мы сравниваем данный предмет.

Особенности восприятия величины у детей.

Дети, при сравнении по любому параметру употребляют только два универсальных параметра (большой, маленький). Дошкольники не соизмеряют величины в предметах (когда ребенок садится на детский стульчик). С трудом осознают относительный характер величин. У детей не развита константность восприятия величины (бусы, 10 бусинок на веревочке, и 10 бусинок в стакане, т. е. при сравнении скажут, что на веревочке бусинок больше, т. к. занимают большое пространство).

Геометрические фигуры

В природе не существует геометрических фигур. Геометрические фигуры – это эталон для определения формы окружающих предметов (в основном нас окружают прямоугольные формы).

Фигуры бывают: плоские – когда все точки находятся на одной плоскости; объемные тела – появляются путем вращения (вводим в средней группе, графические фигуры – представляем при написании (можно создать с помощью палочек, ниточек квадрата).

Особенности восприятия у дошкольников геометрических фигур

Как говорил Венгер Л. А., дети называют фигуру по имени знакомого предмета, т. е. «опредмечивают» ее. В среднем возрасте дети знают элементы фигуры, но чем отличаются фигуры, что общего у фигур, что значит классифицировать фигуры… Это могут только дети старшего возраста и под руководством взрослого.

Чем отличается квадрат от треугольника – у квадрата больше углов, больше сторон.

Чем отличается треугольник от квадрата, тем, что у треугольника меньше углов, меньше сторон.

Выделение и познание ребенком формы предмета, как свойства, происходит в деятельности с предметами под контролем зрения и правильного отражения в речи названия формы.

До 3-х лет дети сопоставляют признак формы с конкретными предметами, т. е. каждую из фигур они воспринимают абсолютно. Дети различают геометрические фигуры только по образцу и только контрастные по форме (контраст заключается в том, есть углы (препятствия) или нет). У детей очень низкий уровень обследования форм, т. к. глаз ребенка охватывает только лишь внутреннюю область фигуры, ограничиваясь беглым зрительным восприятием. Поэтому ребенок не может точно определить контур, форму фигуры. При зрительном обследовании схватываются лишь отдельные свойства фигуры, а фигура в целом не опознается. До 3-х лет неизвестные фигуры воспринимаются как знакомые предметы. Например, цилиндр-стаканчик.

Дети еще не могут обобщить фигуры по форме, т. к. мешают признаки: цвет, размер, расположение в пространстве и др. Детям еще сложно различать близкие по форме плоские и объемные геометрические фигуры (круг-шар). хотя это ему не сложно сделать по образцу. Например, не могут сказать, что яблоко имеет форму шара.

В 5-6 лет дети способны воспринять геометрическую фигуру как эталон (яблоко, мяч – это шар, т. е. абстрагировать признак формы от других признаков предметов (цвета, величины, расположения в пространстве, пропорций частей). Способны различать близкие по форме плоские и объемные фигуры. Могут устанавливать связь между свойствами фигуры и ее названием. Дети способны провести обобщение по форме.

Презентация «Мониторинг готовности старших дошкольников к обучению в школе» Проблема готовности дошкольников к предстоящему обучению в школе всегда находилась в центре внимания педагогов и психологов. Ее решение меняется.

Мониторинг достижения детьми 3–4 лет планируемых результатов освоения основной общеобразовательной программы Диагностический материал соответствует программе воспитания и обучения в детском саду под редакцией Васильевой М. А., Гербовой В. В., Комаровой.

Источник