египетский треугольник что это такое
Египетский треугольник
Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5. Это наиболее простой из треугольников, стороны и площади которых выражаются целыми числами. Он представляет собой прекрасную иллюстрацию теоремы Пифагора – действительно, квадрат его гипотенузы (25) очевидно равен сумме квадратов его катетов (9 и 16). Предполагается даже, что именно знакомство с египетским треугольником сподвигло Пифагора на формулировку его теоремы. Впрочем, как всегда в подобных случаях, историки древности, которые не являются специалистами ни в одной другой области знания, кроме истории (и уж точно плохо смыслят в математике), могут ошибаться.
Так или иначе, имеются многочисленные указания на то, что теорема Пифагора вообще и египетский треугольник в частности были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и далеко за пределами Египта – в Месопотамии, в долине Инда, в древнем Китае. И вправду, корень многих знаний следует искать, наверное, в практической деятельности человека. Как только возникла необходимость возводить здания и сооружения, человек эмпирическим путём пришёл к пониманию важности прямых углов. А как отмерить прямой угол, не имея геодезических приборов?
Оказывается, очень просто. Берём верёвку и делим её на 12 равных частей – например, при помощи складывания. Выбираем отрезок верёвки, равный 5, так, чтобы он находился межды двумя другими, равными 3 и 4. Выпрямляем его и фиксируем на ровном участке земли при помощи двух колышков. А затем натягиваем концы верёвки и сводим их в одну точку, чтобы получился треугольник. Прямоугольный, египетский.
«Делай, как делается». Знаменитая древнеегипетская пословица, дошедшая до наших дней. У нас её обычно понимают, как мудрое наблюдение: если так получается, значит, так правильно. Но при этом часто забывают культурно-исторический контекст Древнего Египта. Всеми работами руководили жрецы – члены замкнутой касты харнителей священного, древнего знания. Поэтому «делай, как делается» в древнеегипетском контексте наверняка значило «делай как говорят и не задавай лишних вопросов». То есть жрецы знали не только, «как» делать, чтобы «делалось», но и «почему», и это зание было скрыто от непосвящённых.
Мы тоже хотим знать, «почему». Нам недостаточно «как». Человеческий ум будоражат разнообразные загадки, и так, наверное, будет всегда. Египетский треугольник, хоть и известен с незапамятных времён – одна из таких загадок.
Начнём с того, что он красив. Его форма проста и гармонична, на него приятно смотреть. И с ним легко работать, используя самые простые инструменты – линейку и циркуль. Он, казалось бы, даже приглашает поработать с ним. Что ж, примем приглашение и посмотрим, что у нас получится.
Несколько простых построений, в числе которых – квадраты гипотенузы и катетов, а также симметричные отображения, сразу дают нам красивые, грмоничные фигуры. Здесь мы видим и мальтийский крест, и серединное сечение пирамиды Хефрена, и фрактальный ряд убывающих (возрастающих) по размерам египетских треугольников в соответствии с правилом золотого сечения. Удивительное богатство гармоничных пропорций. И кажется, что ещё немного, и неразрешимая задача о квадратуре круга будет решена.
Впрочем, не станем уподобляться безумцам, которые изобретают вечный двигатель, ищут квадратуру круга, философский камень и книгу мёртвых. Ограничимся констатацией бесконечных возможностей создания красоты и гармонии при помощи простой верёвки, разделённой на 12 равных частей. В том числе и картины в стиле арифмизма. Картины, которая, в соответствии с определением, изображает законченное арифметическое выражение: 9 + 16 = 25. Математический и геометрический смысл очевиден. Тайное значение – наверное, на то оно и тайное, чтобы таковым оставаться. А многозначительная и почти мистическая эстетика данных форм пусть радует глаз и будоражит воображение.
Египетский треугольник
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами. [источник не указан 1309 дней] В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.
Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Египетский треугольник» в других словарях:
Египетский треугольник — – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся… … Словарь строителя
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5 (сумма чисел 3 + 4 + 5 = 12). Землемеры и архитекторы с глубокой древности пользовались соотношением этих чисел для построения прямых углов с помощью верёвки, размеченной узлами на 3/12 и… … Архитектурный словарь
Египетский Треугольник — Прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся в… … Строительный словарь
лунный египетский треугольник — Треугольник, возникающий в центре большого квадрата, построенного на базе трёх лунных обелисков с отношением сторон 3:4:5, при условии, что вся площадь квадрата разделена на серию прямоугольных треугольников с отношением катетов 1:2. E. Egyptian… … Толковый уфологический словарь с эквивалентами на английском и немецком языках
Треугольник (значения) — В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ … Википедия
Треугольник Халаиба — Халаибский треугольник مثلث حلايب спорная территория ← … Википедия
Египетский крест (астеризм) — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
Халаибский треугольник — مثلث حلايب спорная территория ← … Википедия
Зимний треугольник — красный цвет = зимний треугольник, синий цвет = зимний круг … Википедия
Самое интересное, что такое название фигуре дали не Египтяне, а эллины, прибывшие в 5-7 веках до нашей эры в Египет. Чем же так замечателен египетский треугольник?
Три главных его свойства:
1. Всего его стороны целочисленны и рациональны: к тому же 3,4,5 минимальные из вещественных чисел.
2. Египетский треугольник — родоначальник так называемых героновских треугольников (знакомая фамилия? Помните формулу из школьного курса геометрии?), а точнее самый простой из них.
3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице.
А теперь, дорогой читатель, давай умножим все стороны простейшего египетского треугольника на любое вещественное число, для простоты на 3. Тогда получим а=3*3=9, b=4*3=12 и c=5*3=15. Треугольник с такими сторонами — тоже прямоугольный
И что? Возразит читатель! Это же простая математика про извлечение корней! Что здесь такого? И будет прав. Если он живет в 21 веке. Но будет очень неправ, если он родился в Древнем Египте. Так как среди наших читателей таковых вроде как нет, попытаюсь объяснить.
Представьте, что вы древнеегипетский землемер и вам нужно разметить квадратный фундамент, например, для пирамиды, имеющий вид квадрата со стороной 100 метров. Как решить эту проблему? Да легко! Берем веревку длиной 100 метров, привязываем его к колышку и идем в одну сторону, делаем отметку. Возвращаемся и идем под углом 90 градусов в другую сторону на 100 метров. И получаем нечто такое:
Явно не похожее на квадрат в основании, скорее на ромб. Так где же зарыта собака? Ответ: в определении угла в 90 градусов. Попробуйте на досуге даже обычной линейкой разметить квадрат два на два метр и получите расхождение. что уж говорить, когда стороны в 50 раз больше?
Что же делать землемеру? На помощь приходит математика.
Берем веревку длиной 25 метров. На другой длинной веревке откладываем 12 этих веревок и получаем 300-метровый отрезок с нанесенными отметками каждые 25 метров. Теперь все абсолютно просто: надо из это веревки построить треугольник, с длинами в 3,4 и 5 отрезков соответственно. Магия такова, что в таком случае у Вас всегда получится прямой угол! А все остальное — дело техники. В завершении видео:
Спасибо за любовь к математике! Жду Вас снова!
Египетский треугольник
Автор: admin · 8 апреля, 2014
Египетский треугольник.
Название «египетский треугольник» появилось уже в 5 веке до н.э. Принадлежит оно прямоугольному треугольнику, стороны которого равны соответственно 3, 4 и 5.
Назван он был так потому, что очень широко применялся еще в Древнем Египте в различных сферах жизнедеятельности.
Хотя уже тогда он был знаком людям далеко за пределами Древнего Египта, но, видимо, его уникальные свойства заметили и начали использовать впервые именно там.
В чем же состоит его отличительная особенность?
Во-первых, все его стороны и площадь — это целые числа;
во-вторых, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе ( а это ведь теорема Пифагора, которую все знают со школы! Но о Пифагоре чуть позже);
в-третьих, это то, что с его помощью можно отмерять прямые углы в пространстве (треугольник-то прямоугольный!), а это просто необходимо, например, в строительстве;
и, в-четвертых, этот треугольник можно запросто построить с помощью простой веревки.
А теперь про Пифагора. Египетский треугольник тесно связан с его именем.
Возможно, изучение интересных особенностей египетского треугольника и подтолкнуло Пифагора на попытку обобщения зависимостей во всех других прямоугольных треугольниках. Что ему, как известно, удалось!
Кстати, оказывается, теорема Пифагора попала в Книгу Рекордов Гиннеса как теорема с самым большим количеством доказательств (их насчитывается около 500).
Что такое Египетский треугольник на стройке? В чем его особенность +Фото и Видео
Строительство с применением египетского треугольника древний способ, активно используемый до сих пор современными строителями. Название получил благодаря древнеегипетским сооружениям, хотя известно, что история его начинается задолго до этого периода.
Но, скорее всего, свойства уникальной фигуры не были оценены в те времена, пока не появился Пифагор, сумевший проанализировать и оценить изящные формы фигуры.
Египетский треугольник известен еще с древних времен. Он был и остается популярен в строительстве и архитектуре много веков.
Считается, что создал геометрическую конструкцию великий греческий математик Пифагор Самосский. Благодаря ему сегодня мы можем использовать все свойства геометрической постройки в области строения.
Египетский треугольник в строительстве. Общие сведения
Зарождение идеи
Идея у математика появилась после путешествия в Африку по просьбе Фалеса, который поставил задачу Пифагору изучить математику и астрономию тех мест. В Египте он среди бескрайней пустыни встретил величественные строения, поразившие его размером, изяществом и красотой.
Надо заметить, что более двух с половиной тысяч лет назад пирамиды были несколько другими – огромными, с четкими гранями. Тщательно изучив могущественные постройки, коих было не мало, так как рядом с великанами, стояли храмы поменьше, построенные для детей, жен и других родственных лиц фараона, это натолкнуло его на мысль.
Благодаря своим математическим способностям, Пифагор сумел определить закономерность в формах пирамиды, а умение анализировать и делать выводы привели к созданию одной из самых значимых теорий в истории геометрии.
Из истории
Знали ли в древнем Египте о геометрии и математике? Конечно да. Жизнь египтян была тесно связана с наукой. Они регулярно пользовались знаниями при разметке полей, создании архитектурных шедевров. Даже существовала своя служба землемеров, которые применяли геометрические правила, занимаясь восстановлением границ.
Название треугольник получил благодаря эллинам, которые нередко бывали в Египте в VII-V вв. до н.э. Считается, что прообразом фигуры стала пирамида Хеопса, отличающаяся совершенными пропорциями. Ее место особенное в истории. Если посмотреть поперечное сечение, то можно отметить два треугольника, у которых угол внутри равняется 51 о 50’.
Строение
Однако, следует рассмотреть другую пирамиду – Хефрена, у которой основа как раз-таки прямоугольный треугольник и где угол наклона боковых граней равен 53 о 12 с соотношением катетов 4:3. Это уже так называемый священный треугольник. Для египтян такая фигура сопоставлялась с семейным очагом: катет вертикального положения олицетворял мужчину, основание – представительницу прекрасного пола, а гипотенуза – рождение ребенка от обоих.
Стороны пирамиды Хефрена в соотношении равны 3:4:5, что точно соответствует теореме Пифагора. Значит, можно сделать вывод, что строители уже знали об этой теореме, но не могли ее сформулировать. Хотя, в исторических письменах встречаются следы использования египетского треугольника за много веков даже до Египта. До сегодняшнего дня это загадка, как могли такие знания получить древние египтяне. Понимали ли они чем обладают?
Особенность фигуры к тому же в том, что благодаря подобному соотношению, она является простым и первым Героновым треугольником, так как ее стороны и площадь целочисленные.
Обратное доказательство
Как доказать, что треугольник прямоугольный? Нужно порой исходить от обратного, то есть если сумма квадратов обеих сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный, что подтверждает равенство 3 2 х4 2 =5 2 и значит он действительно прямоугольный.
Таким образом теорема Пифагора стала каноном и фундаментом развития математической науки. Со школьной скамьи каждый ученик знает, что означает выражение «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
Интересно, что теорема Пифагора находится в Книге Гиннесса как теорема, обладающая самым большим количеством доказательств, которых примерно 500.
Особенности
Если рассмотреть более детально отличительные особенности египетского треугольника, то можно выделить следующие моменты:
Место в строительном мире
С древнейших времен египетский треугольник нашел почетное место в архитектуре и строительстве. Конструкция пирамиды отличается тем, что позволяет создавать здание с совершенно правильными углами без каких-либо дополнительных инструментов.
Задача намного облегчается, если использовать транспортир или треугольник. Но, раньше применялись только шнуры и веревке, разделенные на отрезки. Благодаря отметкам на веревке можно было с точностью воссоздать прямоугольную фигуру. Строителям заменяла транспортир и угольник веревка, для чего отмечали узлами на ней 12 частей и складывали треугольник с отрезками 3,4,5. Прямой угол получался без затруднений. Эти знания помогли создать множество сооружений, в том числе пирамиды.
Интересно, что до древнего Египта, таким способом строили в Китае, Вавилоне, Месопотамии.
Свойства египетской треугольной фигуры подчиняются истине – квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов. Эта теорема Пифагора знакома каждому со школьной поры. Например, умножаем 5х5 и получаем гипотенузу равную числу 25. Квадраты обоих катетов равны 16 и 9, что в сумме дает цифру 25.
Благодаря таким свойствам, треугольник нашел применение в строительстве. Можно взять любую деталь, с целью провести линию прямого направления с условием, что ее длина должна быть кратной пяти. После этого заметить один край и прочертить от него линию кратную четырем, а от другого кратную трем. При этом каждый отрезок должен быть длиной минимум четыре и три. Пересекаясь, они образовывают один прямой угол в 90 градусов. Другие углы равны 53,13 и 36,87 градусам.
Какие существуют альтернативные варианты
Как создать прямой угол
Лучшим вариантом смастерить прямой угол является применение угольника или транспортира. Это позволит с минимальными затратами найти необходимые пропорции. Но, основной момент египетского треугольника в его универсальности из-за возможности создать фигуру, не имея под рукой ничего.
В этом деле может пригодиться все, даже печатные издания. Любая книга или даже журнал имеют всегда соотношение сторон, образующее прямой угол. Типографские станки работают всегда точно, чтобы рулон, заправленный в машину резался пропорциональными углами.
Древние инженеры придумывали много способов строительства египетского треугольника и всегда экономили ресурсы.
Поэтому, самым простым и широко применяемым был метод постройки геометрической фигуры с применением обычной веревки. Бралась бечевка и резалась на 12 ровных частей, из которых выкладывалась фигура с пропорциями 3,4 и 5.
Как создать другие углы?
Египетский треугольник в строительном мире нельзя недооценивать. Его свойства однозначно полезны, но без возможности построить углы другого градуса в строительстве невозможно. Чтобы образовался угол в 45 градусов, понадобится рамка или багет, которые распиливаются под углом в 45 градусов и соединяются между собой.
Важно! Чтобы получить необходимый наклон, потребуется позаимствовать бумажный лист из печатного издания и согнуть его. Линии изгиба при этом будут проходить через угол. Края должны быть соединены.
Получить 60 градусов можно с применением двух треугольников по 30 градусов. Чаще всего используются для создания декоративных элементов.
Небольшие хитрости
Египетский треугольник 3х4х5 актуален для маленьких домов. Но, что делать, если дом 12х15?
Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равняются 12 и 15 м. Гипотенуза находится как квадратный корень из суммы 12х12 и 15х15. В итоге получаем 19,2 м. С помощью чего-либо — веревки, шпагата, бечевки, тросика, военного кабеля, отмеряем 12, 15 и 19,2 м. Делаем узлы на этих местах и ставим жимки.
Затем треугольник нужно растянуть на нужном месте и установить 3 точки опоры, в которые вбить колышки. Четвертую точку можно получить, не трогая концы катетов. Для этого точка прямого угла перекидывается по диагонали и все готово.
Например, есть участок, где требуется прямой угол – для места под кухонный гарнитур, раскладки кафеля и других моментов. Хорошо бы такие вопросы учесть при кладке, но реальность другая и не всегда попадаются ровные стены и прямые углы. Здесь пригодится египетский треугольник с соотношением 3:4:5, либо при необходимости 1,5:2:2,5.
Обязательно учитывается толщина маяков, погрешность, бугры на стенах и т.д. Треугольник рисуется с помощью рулетки и мела. Если разметка небольшая, то можно воспользоваться листом гипсокартона, так как режутся они с правильными углами.
Египетский треугольник широко использовался в строительстве целых 2,5 века. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись. С ним легко работать, по форме он гармоничен и красив. До сих пор пытливые умы пытаются разгадать тайну египетского треугольника.