как доказать что фигура дельтоид
Как доказать что фигура дельтоид
Дельтоид
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
На уроках геометрии в первой четверти 8 класса мы изучали различные четырехугольники, такие как параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Мы доказывали их свойства и признаки, с помощью которых потом решали различные задачи. Возник вопрос: все ли виды четырехугольников мы изучили? Пытаясь ответить на этот вопрос, в сети Интернет я наткнулась на еще один четырехугольник – дельтоид. Проведя анализ привычных школьных справочников, а также заглянув в знаменитый справочник Бронштейна, я не нашла никаких сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире, например, крона дерева туя (рис.1), тело рыбы (рис.2), человеческий мозжечок (рис.3), соединенные человеческие руки (рис.4), воздушный змей (рис.5), лист дерева (ри.6), а также форма носа и глаза.
рис.1 рис.2 рис.3 рис. 4
Меня очень заинтересовал данный четырехугольник, и я решила глубже узнать, что это за дельтоид, сформулировать и доказать его свойства и признаки, решить различные задачи с ним, а потом представить свои разработки в виде сайта для своих одноклассников и всех тех, кто интересуется геометрией.
Цель: изучение четырехугольника дельтоид и создание сайта «Все о дельтоиде».
— познакомиться с литературой по данной теме;
— сформулировать различные определения дельтоида;
— сформулировать свойства и признаки дельтоида;
— составить и решить задачи с дельтоидом;
— составить тесты для проверки знаний о дельтоиде;
Объект исследования: четырехугольник дельтоид.
Предмет исследования: определение, свойства и признаки дельтоида.
Методы исследования: работа с научной литературой, анализ и систематизация теоретического материала, решение задач.
Глава 1. Дельтоид – один из видов четырехугольников
1.1 Определение дельтоида
Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта ).
Изучив различную литературу по данной теме, я выделила два определения дельтоида (рис.7):
— Дельтоид – это четырехугольник, симметричный относительно одной из своих диагоналей. [4,5,6,8]
Из определения дельтоида следует, что ромб и квадрат также являются дельтоидами.
Средняя линия дельтоида это – отрезок, соединяющий середины соседних сторон дельтоида.
Есть два вида дельтоидов: выпуклый (рис.7) и невыпуклый (рис.8).
Все углы выпуклого дельтоида меньше развёрнутого угла, а один из углов невыпуклого дельтоида больше развёрнутого угла.
1.2 Свойства дельтоида
Изучив литературу, по данной теме, мною были выделены следующие свойства дельтоида (табл.1).
Табл.1 Свойства дельтоида
1) Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину
2) Диагонали дельтоида перпендикулярны друг другу, одна из них делит другую на две равные части
3) Во всякий выпуклый дельтоид можно вписать окружность, и только одну
4) Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника
5) Главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов
6) Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника
7) Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида
8) Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей
9) Площадь дельтоида равна произведению двух его неравных сторон на синус угла между ними
Проведя сравнительный анализ со свойствами изученных четырехугольников, я выделила общие свойства дельтоида, ромба и квадрата:
— диагонали взаимно перпендикулярны;
— площадь равна половине произведения диагоналей;
— средние линии образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
Также в любой выпуклый дельтоид, как и в квадрат, можно вписать окружность, и только одну.
Мною были определены и различия в свойствах дельтоида и других изученных четырехугольников. У дельтоида:
— только одна пара равных противолежащих углов (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – две);
— только одна диагональ точкой пересечения диагоналей делится пополам (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);
— только главная диагональ делит на два равных треугольника (у параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата – обе диагонали);
— только главная диагональ дельтоида является биссектрисой противолежащих углов (у ромба – обе диагонали);
— только неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника (у квадрата и ромба – обе диагонали).
1.3 Признаки дельтоида
Можно выделить четыре признака дельтоида (табл.2).
Табл.2 Признаки дельтоида
1)Если у четырёхугольника только одна ось симметрии, проходящая через диагональ, то это дельтоид
2) Если четырёхугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид
3) Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны и только одна из них делит другую пополам, то это дельтоид
4) Если в четырёхугольнике только одна диагональ является биссектрисой противоположных углов, то это дельтоид
1.4 Задачи с дельтоидом
Изучив некоторые российские учебные пособия по математике [1], я не встретила системы задач про дельтоид. Однако мы встречались с этой геометрической фигурой на уроках геометрии еще в 7 классе (УМК по ред. А.Г.Мерзляка [2,3]), когда решали задачи на применение признаков равенства треугольников (№161 (рис.9), №176 (рис.10)) и задачи по теме «Касательная к окружности» (№523 (рис.11)).
Изучив признаки и свойства дельтоида, я попыталась составить достаточное количество разнообразных и интересных задач с дельтоидом вычислительного характера. Примеры таких задач приведены ниже, для некоторых из них рассмотрено решение. [7]
120 = ·16· d 2; 120 = 8· d 2; d 2 = 120 : 8; d 2 = 15 см
Найти стороны дельтоида, если его периметр
равен 116 см, а разность боковых сторон равна
Ответ: АВ=30,5 см; ВС=30,5 см; CD =27,5 см; AD =27,5 см
На сторонах АВ и ВС прямоугольника АВС D взяты точки К и О соответственно так, что КВ = ВО, а на стороне А D взята точка Е так, что КЕ = ОЕ. Найти АВЕ.
2)Рассмотрим четырёхугольник КВОЕ.
КВ=ОВ (по условию); КЕ=ОЕ (по условию).
Значит, КВОЕ – дельтоид по определению.
3)ВЕ – главная диагональ дельтоида, следовательно, она является биссектрисой противолежащих углов дельтоида, т.е. АВЕ= В. Значит, АВЕ= · 90° = 45°.
2) BE – главная диагональ дельтоида, а, значит, и биссектриса B (по свойству дельтоида).
Пусть FB = BD =х, тогда
Равные стороны АВ и ВС дельтоида АВС D перпендикулярны и равны
∆ ABC – равнобедренный прямоугольный
2) Т.К. АК = КС по условию, то АК = КС = 2 см. рис.15
3) AC BD по свойству дельтоида, значит, ∆ KCD – прямоугольный.
КС² = CE ∙ CD (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике)
1.5 Тесты по теме «Дельтоид»
Рассмотрев свойства и признаки дельтоида, изучив возможность их применения для решения задач, я составила тесты для проверки знаний по теме «Дельтоид».
Обобщающий тест «Всё о дельтоиде»
Форму какого из четырехугольников имеет мозжечок человека:
Выберите верное утверждение:
Дельтоид – это четырехугольник, у которого стороны попарно равны
Дельтоид – это четырехугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон
Дельтоид – это четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны
Дельтоид – это четырехугольник, у которого две стороны равны
Выберите неверное утверждение:
Главная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины неравных углов дельтоида
Дельтоид – это четырехугольник, в котором две пары соседних сторон равны
Неглавная диагональ дельтоида – это отрезок, соединяющий вершины равных углов дельтоида
Средняя линия дельтоида – это отрезок, соединяющий стороны дельтоида
Какой четырехугольник может быть невыпуклым:
Выберите верное утверждение:
Если в четырехугольнике две стороны равны, то это дельтоид
Если четырехугольник образован двумя равнобедренными треугольниками с разными боковыми сторонами и общим основанием, то это дельтоид
Если в четырехугольнике диагонали является биссектрисами противолежащих углов, то это дельтоид
Если в четырехугольнике есть пара равных соседних сторон, то это дельтоид
Выберите неверное утверждение:
Все углы дельтоида равны
Углы дельтоида между сторонами разной длины имеют равную величину
Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника
Выберите верное утверждение:
Около всякого выпуклого дельтоида можно описать окружность
Все стороны дельтоида равны
Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника
В выпуклом дельтоиде один из углов больше развёрнутого
У какого четырехугольника только одна диагональ является биссектрисой противолежащих углов:
В дельтоиде смежные стороны относятся как 3 : 5. Найдите большую сторону дельтоида, если его периметр равен 48 см.
Какого из перечисленных элементов нет у дельтоида?
Радиус описанной окружности
Радиус вписанной окружности
1.6 Создание электронного образовательного ресурса – сайт «Все о дельтоиде»
Данный сайт можно использовать для объяснения материала о дельтоиде на уроках геометрии и во внеурочной деятельности, для самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе решения интерактивных тестов.
Данный сайт состоит из шести разделов:
5 раздел – «Задачи и дельтоидом» (рис.20). На этой странице приведены решения некоторых задач на вычисление различных элементов дельтоида, а также предложены задачи для самостоятельного решения.
6 раздел – «Тесты по теме «Дельтоид» (рис.21, рис.22). В этом разделе можно проверить свои знания по данной теме с помощью предложенных интерактивных тестов.
На одном из уроков геометрии я предложила своим одноклассникам познакомиться с дельтоидом, изучив материал на сайте «Все о дельтоиде» (рис.23, рис.24, рис. 25).
Мне было очень интересно узнать мнение ребят о моем электронном образовательном ресурсе – сайте «Все о дельтоиде». Вот некоторые из высказываний.
Таня Т.: «Очень интересно было узнать об еще одном четырехугольнике – дельтоиде».
Оля П.: «Информация изложена доступно и понятно. Понравилось самостоятельно решать задачи с дельтоидом».
Антон Р.: «Оказывается, что дельтоид окружает нас повсюду».
Настя К.: «Изучив определение, свойства и признаки дельтоида и решив задачи для самостоятельной работы, я практически без ошибок прошла интерактивное тестирование».
В данной работе изучена неизвестная в школьном курсе математики геометрическая фигура – дельтоид, которая, однако, встречается очень часто в нашей жизни. Была проделана работа по формулированию свойств и признаков этого четырехугольника, составлено достаточное количество разнообразных задач на вычисление различных элементов дельтоида, также были разработаны тесты для оценки знаний по данной теме. Весь накопленный материал я оформила в виде электронного образовательного ресурса – сайта «Все о дельтоиде», который был предложен моим одноклассникам на одном из уроков геометрии и получил положительные отзывы.
Таким образом, цели, стоящей перед нами, мы достигли – изучен четырехугольник дельтоид. Я бы порекомендовала использовать созданный электронный продукт на урочной и внеурочной деятельности для объяснения материала по данной теме, самостоятельного изучения обучающимися этой темы с последующей проверкой полученных знаний в ходе выполнения интерактивных тестов.
Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2013.-328с.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2017
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. и др. Геометрия 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций.- М.: Вентана-Граф, 2018
Перельман Я.И. Занимательная алгебра, геометрия. М.: Книга, 2005
Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо, 2008.-304с.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.-400с.
Шноль Д, Сгибнев А, Нетрусова Н. Система открытых задач по геометрии: 8 класс – М.: Чистые пруды, 2009. – 32 с.: ил. – (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 29).
Научная работа к НОУ по теме «Дельтоид»
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Ленинского района г. Н. Новгорода
Научное общество учащихся
Исследование некоторых свойств и признаков дельтоида,
для применения их к решению задач.
Выполнил: Зуев Матвей,
Определить особенности дельтоида как геометрической фигуры.
Исследовать историю изучения дельтоида и его распознавание в окружающем мире.
Изучить свойства и признаки дельтоида.
Рассмотреть задачи, которые решаются с помощью применения свойств и признаков дельтоида.
Изучая тему «Четырехугольник» я решил, что четырехугольник дельтоид тоже может быть интересен для изучения.
Поэтому целью моего исследования является:
Для выполнения этой цели были поставлены следующие задачи:
Исследовать дельтоид в окружающем мире и историю его изучения.
Изучить свойства и признаки дельтоида
Рассмотреть задачи, которые решаются с помощью свойств и признаков дельтоид.
Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки, следя за их полнотой и непротиворечивостью; привести доказательства свойств и признаков и, наконец, придумать достаточное количество интересных, разнообразных, разноуровневых задач, дифференцированных по их сложности. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера, а также задачи на соотношение дельтоида, окружности и четырехугольника.
Эта работа позволила мне глубже осознать такие понятия как определения, свойства, признаки дельтоида, помогла научиться решать задачи. Работа позволила исследовать и сам учебник, чтобы найти задачи в чертежах, в которых есть дельтоид.
а. Причины возникновения данного исследования.
При изучении темы: «Четырёхугольник» дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается. Между тем эту фигуру часто встречаем в окружающем мире:
а) В биологии (Если схематизировать объекты);
1) Крона дерева туя 2) Тело рыбы
3) Лист дерева 4) Соединённые человеческие руки
5) Человеческий мозжечок имеет рисунок, который учёные называют (деревом жизни), составной частью которого являются дельтоиды
6) Форма глаза, форма носа
Наблюдая за поверхностью открытого грунта, отмечаем, что после оттаивания, его поверхность покрывается дельтоидами.
Часто находят метеориты, имеющие форму дельтоида.
Составной частью летательных аппаратов служит дельтоид. Например: части ракет, дельтапланов, самолётов. Изображение воздушного змея выглядит так:
а) Определение дельтоида
Дельтоид — четырехугольник, который содержит 2 пары смежных сторон, имеющих одинаковую длину.
Дельтоид бывает выпуклым или невыпуклым :
Неглавная диагональ дельтоида –вторая диагональ.
Средняя линия дельтоида это – прямая соединяющая середину смежных сторон дельтоида.
2.1 Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
2.2 Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали равны.
2.3 Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида.
2.4 Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится пополам.
2.5 Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны
2.6 Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, P которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
2.7. В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность
2.9 Периметр дельтоида определяется по формуле: Р= 2(а+в), где а и в смежные неравные стороны дельтоида.
3.1 Если в четырехугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид.
3.2 Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
К работе над данным исследованием меня подтолкнула изящная красота дельтоида. Меня увлекло то, что сама фигура неизвестна в школьном курсе математики и мало известна в математической литературе, а встречается на каждом шагу. При всей кажущейся простоте этой фигуры, задачи с дельтоидом не так просты, как кажутся.
2.1 Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
2.2 Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны.
3) Рассмотрим BAD и BCD :
2.3. Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида.
2) Рассмотрим BAD и BCD :
1) АВ=ВС по определению дельтоида
2.4. Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится пополам.
1) По свойству 3.1, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и А DC : АВ=ВС, AD = DC
2) По свойству 3.3, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: 1= 2, 3=4.
2.5 Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.
1) По свойству 3.1, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и А DC : АВ=ВС, AD = DC
2) По свойству 3.3, главная диагональ дельтоида является биссектрисой:
3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольник является медианой и высотой.
2.6 Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
( BD=DC, CE=ED, DF=FA, BM=MA)
1) ME // BD и LF // DB т.е. ME // LF
2.7 В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность
Вписать: окружность (о; r )
1) Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
2) По определению дельтоида, это выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует. Значит АВ+ DC = AD + ВС.
3) Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следует: в дельтоид можно вписать окружность. Единственную. Ч.т.д.
2.9 Периметр дельтоида определяется по формуле: 2(а+в), где а и в смежные неравные стороны дельтоида.
2) Значит AB = AD = a ; BC = DC =в. Периметр- это сумма всех сторон данной фигуры. Значит Р ABCD =2(а+в). Ч.т.д.
3.1 Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид.
2. Рассмотрим АО D и АОВ:
АО D = АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда А D =АВ.
4. Рассмотрим СО D и СОВ:
СО D = СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда D С=ВС.
3.2 Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
2. Рассмотрим АО D и АОВ:
АО D = АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда А D =АВ.
4. Рассмотрим СО D и СОВ:
СО D = СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда D С=ВС.
6. D О- перпендикуляр, не является медианой т.к. А D С не равнобедренный.
а) угол ADB = углу ACB
4.6 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и углу между ними.
4.7 Построить дельтоид по стороне, главной диагонали и углу между ними.
4.9 Построить дельтоид по двум данным равным смежным сторонам и тупому углу между ними, причём диагонали этого дельтоида равны.
4.10 Построить дельтоид по двум равным диагоналям, одна из которых в точке пересечения делится в отношении 2:7.
4.11 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и главной диагонали.
4.12 Построить дельтоид по двум равным сторонам, углу между ними и главной диагонали.
4.13 Построить дельтоид, вписанный в окружность данного радиуса, если известно, что его диагонали относятся, как 2:3
4.15 Исследовать возможность получения дельтоида из различных типов треугольников, используя прямые содержащие стороны треугольников как оси симметрии.
4.16 Провести прямую проходящую через его вершину и делящую его на две равновеликие части.
417 Разделить дельтоид на три равновеликие части прямой проходящей через точку пересечения его равных сторон.
4.18 Доказать что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности дельтоида совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника вершинами которого служат точки касания сторон дельтоида с окружностью.
Как доказать что фигура дельтоид
Цели и задачи проекта. Его актуальность.
Познакомить и показать подходы к изучению свойств и признаков дельтоида.
Ознакомление с понятием «Мозаика Пенроуза», её практическое и историческое значение.
Так же, я поставил несколько задач: дать понятие дельтоида; определение выпуклого дельтоида; обоснование признаков выпуклого дельтоида; привести доказательство свойств выпуклого дельтоида; вывод формул площади выпуклого дельтоида.
Придумать достаточное количество интересных и разноуровневых задач на дельтоид. Это оказались задачи на построение дельтоида, задачи исследовательского характера.
Актуальность темы. Расширение кругозора, использование работы в дальнейших исследованиях по математике, применении задач на контрольных. Целью данной исследовательской работы «Дельтоид» было показать широкие возможности творческой деятельности, которые открываются при изучении этой фигуры.
а) Мозаика Пенроуза.
б) Использование дельтоидов в жизни и военной технике.
а) Определение дельтоида;
б) Свойства дельтоида;
в) Признаки дельтоида;
г) Формулы для нахождения Р дельтоидов;
д) Задачи по теме «Дельтоид»
4. Список используемой литературы.
В настоящее время все больше возрастает актуальность исследований таких фигур, как дельтоид и дельтоидные многогранники.
Интересно, что очень часто такие фигуры используются для орнаментального мощения. Так называемая, мозаика Пенроуза. Что это такое? Это заполнение плоскости дельтоидами без зазоров и перекрываний. Принципы Пенроуза используются в архитектуре с древнейших времен.
Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), очень напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.
Если раньше эти фигуры рассматривали только в архитектуре и дизайне декоративной мозаики, то сейчас они особенно важны при разработке современных летательных аппаратов и плавательных судов.
« Northrop B -2 Spirit », серия проектов дальнего тяжелого бомбардировщика, имели сниженную радиолокационную заметность благодаря аэродинамической схеме «летающее крыло». Конфигурация невыпуклых дельтоидов.
Беспилотник Х-47А (выпуклый дельтоид)
Корветы типа «Висбю» Швеция, Си Шэдоу – судно, опытный образец
Так что же такое дельтоид (определение).
Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым. (Рис.№ 1)
Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали, равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует еще одна окружность, касающаяся продолжений всех четырех сторон. (Рис.№ 2)
Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон. (Рис.3)
Не главная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю делится пополам.
Главная диагональ является биссектрисой углов.
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника. Другая диагональ – делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он не выпуклый.
Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, Р которого равен сумме диагоналей данного дельтоида.
Площадь всякого дельтоида определяют:
б) через 2 соседние разные стороны и угол между ними:
Первый признак дельтоида:
Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 4) Где AC – биссектриса
(∠ BAC = ∠ DAC, ∠ BCA = ∠ DCA), AC┴ BD, ∠ В = ∠ D
Доказать: ABCD – дельтоид
1.Точка O – точка пересечения диагоналей АС и ВD, AС ┴ BD.
Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD: ∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, ∠ OAB = ∠ OAD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по катету и прилежащему к нему острому углу, значит АB = АD.
2. Точка O – точка пересечения диагоналей, CO ┴ BD.
3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.
Второй признак дельтоида:
Если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABCD (Рис.№ 5), AC ┴ BD,
Точка O – точка пересечения диагоналей, BO = ОD
Доказать: ABDC – дельтоид
Рассмотрим ∆ АОB и ∆ АОD:∆ AOB и ∆ AOD – прямоугольные треугольники, так как AC ┴ BD по условию, АО – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ АОD = ∆ АОВ по двум катетам, значит АB = АD.
2. Рассмотрим ∆ COB и ∆ COD:∆ COB и ∆ COD – прямоугольные треугольники, так как
AC ┴ BD по условию, ОС – общая сторона, BO = OD по условию, тогда ∆ СОB = ∆ СОD по двум катетам, значит BС = DC.
3. Так как AB = AD, BC = DC, то ABCD – дельтоид по определению.
Так же иные частные случаи:
Около дельтоида можно описать окружность, если его стороны, имеющие разные длины, образуют углы по 90*, радиус которой вычисляется:
2. Когда пара противоположных сторон дельтоида имеют равную величину, значит, этот дельтоид называется ромбом.
3. Когда пара противоположных сторон и 2 диагонали дельтоида имеют равные величины, то дельтоид является квадратом.
Квадратом оказывается и вписанный дельтоид с равными диагоналями. (Рис.№ 6)
Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
Формулы для нахождения площади дельтоида.
Площадь дельтоида можно вычислить по следующим формулам:
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида) (Рис.№ 7)
Площади этих треугольников равны. Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле: S = 1 d 1 d 2 + 1 d 1 d 2 = d 1 d 2
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
α – угол между ними. Главная диагональ делит дельтоид на два равных треугольника (по свойству главной диагонали дельтоида). (Рис. № 8)
Тогда площадь дельтоида можно найти по формуле:
S = 1 ab sin α + 1 ab sin α = ab sin α
Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Тогда диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD.
Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности. (Рис. № 9)
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
= S1+ S2+ S3+S4 = 1 ar + 1 ar + 1 br + 1 br = (a+b) r
ABCD – дельтоид по условию. Так как AC┴BD по свойству дельтоида,
то ∆ DОА – прямоугольный треугольник, О F = FA по теореме о
пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, OF 2 = AF х FD, OF = 4 cм
АО = 2 CO= 10 x 2 = 20
Дано: ABCD – дельтоид (Рис. № 11), CE ┴ AB
∠ BAD = 100°, ∠ ECD = 80° Рис. № 11
BD – биссектриса ABCD по свойству дельтоида, ∠ DBC = ∠ ABD = = 35° по определению биссектрисы.
Найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в отношении 2:1.
Дано: ABCD-дельтоид (Рис. № 12), AE:EC=2:1,
Р ABCD=116 см., АВ > CD на 3 см. Найти : AB, BC, CD, DA, AC, BD.
1)Пусть CD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:
BС = CD = 27,5, AD = АВ = 27.5+3=30,5
2) Пусть EC = k, AE = 2k, составим систему и решим её:
4k 2 + ED 2 = 930, 25
отсюдаАС = 3 √ 58, В D = 2ED = √ 698,25
Кроме того, треугольники DAE и BCF – равнобедренные, поэтому ∟ EDA = ∟ DEA и ∟ CBF = ∟ CFB .
∟ SEM = ∟SBM = ∟CBF = ∟CFB = φ
Тогда ∟SET = β + γ и ∟SFT = α + φ ,
Примечание. 1. Попутно доказано, что:
а) Четырехугольник SETF вписанный ( противолежащие углы Е и F – прямые);
б) Точки S и T – центры окружностей, описанных около треугольников BEF и DFT соответственно.
Целью данной исследовательской работы «Дельтоид», было показать широкие творческие возможности, которые открываются при изучении этой фигуры. Различные геометрические задачи на дельтоиды – это первоначальный этап практического применения знаний в различных областях деятельности.
Я поставил задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки; привести их доказательства и, наконец, придумать интересные и разнообразные задачи.
Дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается в учебнике геометрии, а ведь эту фигуру мы часто встречаем в окружающем мире. В своей работе я постарался подробно рассказать и объяснить об этой интересной геометрической фигуре. Поэтому целью данной работы «Дельтоид» было показать широкие практические возможности применения этой фигуры в жизни.
Таким образом, геометрия дельтоида и дельтоидальных многогранников в первую очередь, необходима в военной и гражданской технике для изучения радиолокационного отражения, сопротивления материалов ( т.к. фигура подвергается различным силовым нагрузкам и напряжениям), аэродинамических и гидродинамических свойств, а также использования её в архитектуре и мозаике.
В последние годы в проектировании летательных аппаратов возрастает значение фигуры «дельтоид». Это связано с компьютерной стабилизацией летательных аппаратов воздушном пространстве и, как следствие, уменьшения роли хвоста самолетов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций.-М.:Просвещение, 2013 г.
Блинков А. и Блинкова Ю. Статья «Угол в квадрате», Квант, 2014, № 4, с. 34-37
Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А.Глаголева. М.:ФИЗМАТЛИТ,2013 г.
Титаренко А.М., Роганин А.Н. Новейший полный справочник школьника:5-11 классы.-М.:Эксмо,2008 г.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.-М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1981 г.
Математика для школы [Электронный ресурс] http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
Мозаика Пенроуза — Википедия https://ru.wikipedia.org › wiki › Мозаика_Пенроуза
Мозаика Пенроуза – геометрия и искусство. http:// geometry-and-art.ru/penrouz.html
14.Научно-исследовательский проект. Пандиа.