как доказать что функция нечетная
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №2 Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодичность.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения xиз множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).
Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).
Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная
Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная
–нечётная
–нечётная
Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Выясним, является ли функция
чётной или нечётной?
Пример 2. Доказать, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y=cos x
Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π
Четные и нечетные функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Четные функции
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Нечетные функции
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
Готовые работы на аналогичную тему
Функция общего вида
Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.
Пример задачи
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.
Изобразим её на графике:
Изобразим её на графике:
Изобразим её на графике:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 07 2021
Четные и нечетные функции
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций — четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
\[2\cdot 0+a\mathrm
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\(\dfrac n2, n\in\mathbb
(Задача от подписчиков)
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
имеет шесть различных решений.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]
2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin
Общие сведения
Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».
Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:
Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.
Область определения
Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.
D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.
Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.
Основные виды
Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:
Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.
Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.
Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.
Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.
Правила для выявления
Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.
Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:
Следствия из утверждений
Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:
Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.
Классификация по четности
Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):
Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:
Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.
Пример решения
Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:
Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.
Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.
Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.
Четность и нечетность функций
Урок 41. Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Четность и нечетность функций»
· повторить такое свойство функции, как чётность и нечётность.
Прежде давайте вспомним свойства функций, о которых мы уже говорили. Это: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции.
Для того чтобы мы могли говорить о чётности, еще раз давайте повторим, что мы понимаем под областью определения функции.
Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент.
Теперь вспомним, что
Теперь давайте разберёмся с этим определением по подробней. Первым условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно икс равного нулю. Что это значит? Это значит, что если число А принадлежит области определения, то и число минус А тоже принадлежит области определения этой функции.
Второе условие чётности говорит о том, что:
Если посмотреть на график чётной функции, то можно увидеть, что он будет симметричен относительно оси ординат.
Если же нарушается первое условие, то есть область определения функции – не симметричное относительно x = 0 множество, то такая функция не обладает свойством чётности.
Теперь давайте вспомним какую функцию называют нечётной.
Если мы посмотрим на график нечётной функции, то нетрудно увидеть, что он симметричен относительно начала координат.
Мы с вами уже рассмотрели некоторые элементарные функции, их свойства и графики. А теперь давайте попробуем определить какие из этих функций являются чётными, нечётными, ни чётными, ни нечётными.
Если мы посмотрим на графики прямой пропорциональности, то увидим, что эти графики симметричны относительно начала координат.
Теперь давайте рассмотрим обратную пропорциональность.
Область определения этой функции – симметричная относительно x = 0 область, то есть говорить о чётности или нечётности этой функции можно.
Следующей мы рассмотрим линейную функцию.
То есть линейная функция не является ни чётной, ни нечётной.
Рассмотрим функцию y = │x│.
Тогда получим, что функция игрек равно модуль икс – чётная функция.
Область определения – вся числовая прямая.
то есть функция чётная.
Рассмотрим квадратичную функцию.
Область определения – вся числовая прямая.
то есть квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.
Теперь давайте рассмотрим функцию:
Область определения функции – промежуток [0; + ∞) – это не симметричное относительно точки x = 0 множество, то есть мы сразу можем написать, что о чётности или нечётности этой функции говорить нельзя.
то есть перед нами нечётная функция.
Теперь давайте решим несколько заданий.
Рассмотрим ещё один пример.
Сегодня на уроке мы повторили такое свойство функций как чётность. Вспомнили какая функция называется чётной, а какая – нечётной.