как понять что треугольник прямоугольный
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где 
– катеты, 
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь 
прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота 
прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус 
описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус 
вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.
Свойства прямоугольного треугольника
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:
Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:
Теорема Пифагора
Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2
Египетский треугольник
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.
Пифагоровы тройки
Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
Формулы:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Прямоугольный треугольник (ЕГЭ 2022)
Ты, наверно, знаешь, что треугольники – очень полезная штука. А местами даже таинственная. Сегодня мы раскроем все «тайны» о прямоугольном треугольнике.
Ну, хотя бы те, что возникают в математике и пригодятся тебе на ЕГЭ 🙂
А хочешь научиться решать задачи? Мы прикрутим в этот пост вебинары с нашего курса подготовки к ЕГЭ. Обязательно посмотри их и ты сможешь решить любую задачу на эту тему.
Прямоугольный треугольник — коротко о главном
Прямоугольный треугольник –треугольник, у которого один из углов – прямой (= \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\)).
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( <^<2>>+<^<2>>=<
^<2>>\).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике:
Высота прямоугольного треугольника
Медиана и описанная окружность
Вписанная окружность
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
Площадь прямоугольного треугольника:
Прямоугольные треугольники
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Подставим найденное значение в формулу косинуса
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.