как узнать диагональ параллелепипеда
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Параллелепипедом является призма, основанием которой служит многогранник, чаще всего — параллелограмм. У него имеются грани, вершины, ребра. Параллелепипеды могут быть прямыми и наклонными. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Две грани, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а грани с общим ребром — смежными. Противоположные грани попарно параллельны, имеют равные измерения. Вершины параллелепипеда, не относящиеся к одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Четыре его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Три ребра прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной являются его измерениями. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:
D 2 = a 2 + b 2 + с 2
где D — диагональ, a, b, c — длины трех измерений прямоугольного параллелепипеда (ребер).
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов трех его измерений.
где d — диагональ прямоугольного параллелепипеда, a, b, c — длины трех его измерений (ребер).
Если известна диагональ и длина двух измерений (ребер) прямоугольного параллелепипеда, можно найти длину третьего измерения (ребра) по формуле:
a = √D 2 — b 2 + с 2
Зная длину ребер прямоугольного параллелепипеда, можно вычислить все диагонали его боковых граней, воспользовавшись теоремой Пифагора. Диагональ боковой стороны (грани) прямоугольного параллелепипеда делит ее на два одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет искомая нами диагональ, а катетами — ребра параллелепипеда. Тогда, диагональ, как гипотенуза прямоугольного треугольника, будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов (двух ребер параллелепипеда):
d 2 = a 2 + b 2
d = √a 2 + b 2
где d — диагональ грани, а, b — длина и ширина (величина двух смежных ребер).
Диагональ параллелепипеда
Свойства
Геометрический калькулятор для прямоугольного параллелепипеда можно запустить также, зная два из трех ребер тела и его диагональ. Поскольку диагональ параллелепипеда равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадратов всех трех его ребер, то из этого выражения алгебраически можно вывести формулу для третьего неизвестного ребра. (рис.22.4) d_4=√(a^2+b^2+c^2 ) b=√(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )
Имея возможность вычислить неизвестное ребро параллелепипеда, можно следом найти все остальные диагонали его боковых граней. (рис.22.1, 22.2, 22.3) d_1=√(a^2+c^2 ) d_2=√(a^2+b^2 )=√(a^2+a^2+c^2-〖d_4〗^2 )=√(2a^2+c^2-〖d_4〗^2 ) d_3=√(b^2+c^2 )=√(a^2+c^2-〖d_4〗^2+c^2 )=√(a^2+2c^2-〖d_4〗^2 )
Периметр прямоугольного параллелепипеда равен учетверенной сумме ребер, составляющих параллелепипед. Для неизвестного ребра в формулу подставляется полученное из теоремы Пифагора выражение через диагональ параллелепипеда. P=4(a+b+c)
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда через диагональ также можно вычислить посредством замены неизвестной переменной на соответствующее выражение. Изначально площадь параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его ребер. S=2(ab+bc+ac)=2((a+c) √(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )+ac)
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная диагональ, нужно умножить два известных ребра параллелепипеда на квадратный корень из разности квадрата диагонали от суммы квадратов этих ребер. V=abc=ac√(a^2+c^2-〖d_4〗^2 )
Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?
Определение параллелепипеда
Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.
Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.
Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.
Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед — это:
Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.
Свойства параллелепипеда
Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.
Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.
Свойства прямого параллелепипеда:
На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Формулы прямого параллелепипеда:
Прямоугольный параллелепипед
Определение прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = a² + b² + c²
Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.
У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!
Куб: определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
Свойства куба:
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77.
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Определение понятия
В общем случае диагональ представляет собой отрезок, соединяющий вершины двух углов, не принадлежащих одной стороне многогранника. Прямоугольный параллелепипед в свою очередь состоит из шести граней, являющихся прямоугольниками.
Диагонали в прямоугольном параллелепипеде могут быть проведены не только во внутреннем пространстве фигуры, но и на боковых гранях, и в гранях оснований. В последнем случае обычно уточняется, что речь идет о диагонали боковой грани или диагонали основания.
Рис. 1. Диагонали параллелепипеда.
У параллелепипеда есть четыре диагонали. Причем, эти отрезки не принадлежат ни одной боковой грани или основаниям, а проводятся внутри фигуры.
Характеристики диагонали
Существует две теоремы, касающиеся диагоналей параллелограмма. Чтобы их доказать, используются дополнительные построения. К примеру, часто диагональ нижнего основания данной объемной геометрической фигуры служит стороной для нескольких треугольников.
Первая Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда можно найти, суммировав квадраты трех измерений этой геометрической фигуры.
Здесь речь идет о длине, ширине и высоте рассматриваемого многогранника. Чтобы доказать данную теорему необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников.
Так выглядит формула, отражающая содержание данной теоремы.
Рис. 2. Связь диагонали параллелепипеда с ребром и основанием.
Обычно больший отрезок, лежащий в основании параллелепипеда, считается ее длиной. Меньший отрезок – шириной.
Вторая теорема
В любом параллелепипеде четыре диагонали пересекаются в одной точке, которую называют точкой симметрии, и делятся ею пополам. Это свойство доказывают, рассматривая две любые диагонали, и проводя соответствующие отрезки.
Для доказательства этой теоремы нужно вспомнить, что плоскость может задаваться двумя пересекающимися прямыми. В рассматриваемом случае, сечение плоскостью, заданной двумя пересекающимися диагоналями, принимает форму прямоугольника. А диагонали прямоугольника, как известно, точкой пересечения делятся пополам.
Рис. 3. Пересечение диагоналей параллелепипеда.
Из этой же теоремы можно сделать вывод о том, что все его диагонали будут равными между собой отрезками.
Что мы узнали?
Мы поговорили о диагоналях прямоугольного параллелепипеда. Узнали, что, используя свойства диагоналей параллелепипеда, можно найти ширину, длину и высоту параллелепипеда. Поговорили о том, как найти центр симметрии, и определить длину диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Объект изучения
Прежде чем рассматривать формулу диагонали параллелепипеда, следует изучить подробно, что собой представляет эта фигура. Речь идет о призме, для которой характерны следующие особенности:
Как и любой объект в пространстве, параллелепипед состоит из набора элементов. К ним относятся:
Фигуру можно получить, если взять плоский четырехугольник с прямыми углами и переместить его вдоль направленного отрезка, который перпендикулярен его плоскости. Длина вектора будет высотой, а исходный прямоугольник — основанием.
С прямоугольным параллелепипедом удобно работать, поскольку его форма идеально соответствует декартовой системе координат. По этой причине существует множество формул, применяя которые можно рассчитать любую геометрическую характеристику объекта.
Теорема Пифагора
Теорема справедлива для любого треугольника с прямым углом. Данные исторических архивов свидетельствуют, что греческий философ Пифагор впервые доказал, что при складывании квадратов катетов всегда получается квадрат гипотенузы, то есть стороны, которая лежит против прямого угла.
Теорема Пифагора — полезный геометрический инструмент при расчетах параметров не только треугольников, но и прямоугольников. Если 2 противоположные (несмежные) вершины четырехугольника соединить, получится отрезок, который называется диагональю. Она делит фигуру ровно на 2 половинки, каждая представляет собой треугольник с углом 90 градусов, если исходный четырехугольник является прямоугольным.
Исходя из геометрических построений можно понять, что прямоугольник имеет 2 одинаковые диагонали. Если предположить, что стороны фигуры равны a и b, диагональ c легко рассчитывается по теореме Пифагора: c = (a 2 + b 2 )^0,5.
В случае квадрата получается еще более простая формула: c = a*(2)^0,5.
Диагональ параллелепипеда
Особое внимание этому элементу фигуры принято уделять по причине того, что он часто используется для вычисления объема и площади поверхности, совместно с двумя другими линейными параметрами. Прямоугольный параллелепипед определяется тремя линейными характеристиками.
Геометрический элемент
Чтобы построить диагональ параллелепипеда, необходимо рассмотреть его произвольную вершину. Она соединена ребрами с тремя другими. Еще 3 можно соединить с помощью диагоналей граней. В итоге остается лишь одна вершина, которая с исходной соединяется отрезком, проходящим через весь объем фигуры. Этот отрезок называется диагональю параллелепипеда.
Из этих рассуждений несложно понять, сколько диагоналей у параллелепипеда — 4. Их особым свойством является равенство длин. Оно следует из факта симметричности фигуры.
Вывод формулы
Для определения длины диагонали параллелепипеда следует ввести некоторые обозначения. Все вершины одного основания будут A, B, C, D, а их аналоги — A1, B1, C1, D1.
Пусть следует найти диагональ AC1. Дополнительными обозначениями сторон, которые облегчат процедуру вывода формулы, будут:
Сначала необходимо рассмотреть треугольник ABC, который лежит в плоскости одного из оснований. В нем угол B является прямым, а сторона AC — гипотенуза. Если применить теорему Пифагора, получится следующий результат для длины AC: AC = (a 2 + b 2 )^0,5.
Теперь следует обратить внимание на фигуру, которая ограничена вершинами A, C и C1. Это прямоугольный треугольник, в котором стороны AC и CC1 являются катетами, а диагональ AC1 — гипотенуза. Используя введенные обозначения и снова применяя теорему греческого философа: AC1 = (AC 2 + CC1 2 )^0,5 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.
Полученное выражение является искомой формулой для диагонали. Равенство позволяет сделать умозаключение: какие бы стороны ни образовывали фигуру, и какой бы формы она ни была, ее объемная диагональ всегда больше, чем любая из диагоналей грани. Они станут равны только в случае вырождения параллелепипеда в прямоугольник на плоскости (h = 0).
Случай куба
Все рассуждения касательно вывода формулы диагонали параллелепипеда остаются верными для куба. Поскольку фигура обладает высокой симметрией в пространстве, для однозначного определения всех ее параметров необходимо знать лишь одну-единственную сторону квадрата. Пусть это будет a. Общая формула для длины диагонали имеет вид: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.
Если подставить сюда вместо b и h длину стороны a, получается следующее простое равенство: AC1 = a*(3)^0,5.
В кубе его объемная диагональ приблизительно в 1,225 раза больше, чем аналогичный отрезок для грани.
Объем и площадь поверхности
Полученная формула для диагонали не является исключительно теоретической. Ее можно применять для расчета важных для практики величин, например, объема фигуры и площади ее поверхности.
Объем V и площадь поверхности S вычисляются по таким формулам:
V и S однозначно определяются, если знать 3 линейных параметра фигуры. Одним из них может являться длина объемной диагонали, которая зависит от тех же величин, что V и S.
При решении задач, в которых необходимо найти какой-либо объемный параметр или характеристику площади через известные диагонали, потребуется выполнять вычисления с квадратными и кубическими уравнениями.
Косоугольная фигура
Параллелепипед бывает не только прямоугольным, но и наклонным или косоугольным. Основной его отличительной чертой является, что боковое ребро наклонено к плоскости прямоугольного основания под некоторым углом, который отличается от 90 градусов. В таком случае высота фигуры оказывается меньше длины этого ребра.
Наклонный параллелепипед также имеет 4 диагонали в объеме, однако они не всегда имеют одинаковую длину. В этом случае не существует какой-либо конкретной формулы для расчета длины. Для решения подобных сложных задач можно воспользоваться двумя методами:
Пример решения задачи
Пусть дан прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. Известны следующие его параметры:
Необходимо найти объемную диагональ этой фигуры.
Пусть AB = a, AD = b, AA1 = h. Для решения задачи сначала необходимо выписать известные равенства, выраженные через параметры a, b, h:
Из выражения для AD1 и h = 4 см получается значение a = 3 см. При подстановке его в формулу для V, получается значение стороны b = 5,33 см.
Теперь остается подставить значения a, b, h и рассчитать по формуле значение AC1. Получается число: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5 = (3 2 + 5,33 2 + 4 2 )^0,5 = 7,31 см.
Таким образом, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Для определения их длины необходимо сложить квадраты длин всех сторон объемной фигуры и взять квадратный корень от полученной суммы.