как узнать длину окружности овала

Нахождение длины дуги эллипса

IP76 > Нахождение длины дуги эллипса

Как ни странно, но для нахождения длины дуги эллипса нет какой-то определенной функции, как в случае длины дуги окружности, или нахождения координат точки на эллипсе. Это интегральное уравнение.

Калькулятор

Get a better browser, bro…

Интегральное уравнение будем решать как обычно делается в подобных случаях: суммировать очень маленькие значения, которые получаются в результате работы некоей функции, на заданном диапазоне данных, которые наращиваются на чрезвычайно малую постоянную величину. Эта малая величина задается вызывающей стороной. В конце статьи есть рабочий пример с исходниками, в котором можно поиграться с этой «малостью».

Длина дуги, как сумма хорд

Самое простое, что может прийти в голову, это двигаться от начала дуги к ее концу с небольшим наращиванием угла отклонения, считать хорду и прибавлять ее к накапливаемой сумме.

Рис.1. Сумма хорд

(1) Сумма хорд

Проще говоря, находим координаты двух точек на эллипсе, отстоящих друг от друга на некий малый угол, по ним находим хорду, как гипотенузу получившегося прямоугольного треугольника.

В коде выглядит так:

Проверим с планетарным размахом. По последним данным Международной Службы Вращения Земли (IERS — 1996) большая экваториальная полуось Земли равна 6 378 136,49 м, а полярная малая — 6 356 751,75 м.

Посчитаем периметр меридиана каким-нибудь онлайн-калькулятором, получаем 40 007 859.543 (некоторые могут дать другое число, т.к. используют приближенные формулы для вычисления периметра).

Представленная выше функция за 109 милисекунд выдала результат 40 007 996.265 при дельте 0.001. Это нельзя назвать точным результатом.

Длина дуги, как интеграл

Длиной некоторой дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего ее звена стремится к нулю:

(2) Предел суммы хорд при максимальной длине хорды, стремящейся к нулю
(3) Длина t-го звена (хорды) вписанной ломаной

Таким образом, длина дуги эллипса может быть описана интегральным уравнением:

(4) Интегрально-дифференциальное уравнение дуги эллипса

Используя параметрическое уравнение эллипса, приходим к уравнению:

Где t1 и t2 – параметры для начала и конца дуги параметрического уравнения эллипса. Параметром является некий угол к оси абсцисс. Что такое и как найти параметр для угла эллипса подробно изложено тут.

Зная, что (cos t)’ = — sin t, (sin t)’ = cos t (подробный вывод приведен тут и тут), получаем следующую формулу:

(5) Длина дуги эллипса

Выводов достаточно, чтобы написать вторую функцию нахождения длины дуги эллипса.

Результат при dt = 0.001 равен 40 007 859,543 за 109 милисекунд. Отлично!

Длина дуги через эксцентриситет

Это еще не окончательный вид уравнения. В ряде интересных параметров для эллипса есть такая числовая характеристика, показывающая степень отклонения эллипса от окружности, как эксцентриситет. Формула для эллипса:

(6) Эксцентриситет эллипса через полуоси

Чем эксцентриситет ближе к нулю, т.е. разница между a и b меньше, тем больше эллипс похож на окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Выразим b 2 = a 2 (1 — e 2 ), подставим в формулу (5), помним, что sin 2 t + cos 2 t = 1 (справочник [1]), убираем a 2 за знак корня, и, как постоянную величину, за знак интеграла тоже, получаем:

(7) Окончательный вид уравнения для длины дуги эллипса

Пишем функцию, ожидаем более шустрого выполнения:

Результат 40 007 859.543, за чуть меньшее время, 94 милисекунды.

Длина дуги через эксцентриситет с подготовкой

Возьмем за основу последнюю функцию. Алгоритм построен так, что в цикле идем от стартового угла, к конечному, на каждой итерации подсчитывая параметр. А если сразу посчитать начальный и конечный параметры и определить условие выхода из цикла? Этим мы однозначно снизим вычислительную нагрузку внутри цикла.

Рис.2. Параметры дуги эллипса.

То есть, вместо того, чтобы идти из точки A в точку B, мы заранее считаем параметры t1 и t2. И в цикле больше нахождением параметров не занимаемся, а только считаем очередное приращение.

Берем код последней реализации и улучшаем:

Результат — 40 007 859,543 за 30 милисекунд! Мысль явно здравая.

Длина дуги и хорошо забытые хорды

Но вернемся к сумме хорд. Что там-то не так? Казалось бы, все просто, понятно и должно работать, но результат, мягко говоря, не точен.

Работая с вещественными типами, результат зависит от «мелкости» приращения, от разрядности используемых типов. Накапливаемые погрешности, неточное представление дробного числа и прочие прелести чисел с плавающей запятой.

Тип Extended – самый точный из существующих в Delphi (и, как следствие, самый медленный). Перепишем нахождение длины дуги хордами, используя этот тип, и без вызовов внешних функций нахождения координат на эллипсе.

Результат 40 007 859.542 за 94 милисекунды. Разница в одну тысячную, и такое же время. Весьма неплохо!

Практика

Качаем, запускаем. Видим такое окно:

Рис.3. Пример: Вид при запуске

При запуске в полях полуосей находятся «земные» значения. Эллипс сильно смахивает на окружность. Можно сразу нажать «Расчет», увидеть значения полярного меридиана, и начинать уже эксперименты.

Для начала проверим корректность получаемых результатов. Я попытался найти какие-нибудь онлайн калькуляторы для подсчета длины дуги эллипса, в которых можно было бы указать стартовый угол и произвольное отклонение, либо просто пару углов, определяющих дугу. Но все калькуляторы считают периметр эллипса. А с произвольной дугой как-то… не встретились.

Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ) Автор: Illustr — собственная работа, CC BY-SA 4.0, Ссылка

Заскриним несколько моментов и посчитаем корректность:

Рис.4. Скрины расчетов

Введем a=2, b=0.5, стартовый угол равен 0, отклонение θ=5.642.

Рис.5. Подсчет длины дуги для a=2, b=0.5, стартовый угол=0, отклонение θ=5.642

Видим результат у всех один 8.055. Т.е правы все.

Аналогично поступаем с остальными тремя скринами:

Какой результат более истинный? Смотрите сами. Уменьшение дельты, т.е. угла для подсчетов, ведет к более точному результату. На 0.001 интегральные функции выдали результат как хордовые. При более грубой дельте, интегральные чуть изменились, а хордовые верны своему результату.

Сделаем дельту очень мелкой, равной 0.00001. Результат у всех, кроме первой, тот же, 1.333.

Лично я начинаю верить 5-ой формуле.

Вывод : Формулы 2-5 работают как надо. Фаворит 5. За меньшее время, т.е. при более «грубой» дельте, находит правильный результат.

Проверим на ужасных эллипсах. Т.е. где эксцентриситет очень близок к единице.

Рис.6. Проверка на очень «сплющенном» эллипсе

Можем заметить следующее: при 0.00001 функции 2 и 3 дали результат, близкий к результату функции 4, полученный при дельте 0.001. При дельте 0.00001 функция 4 дала результат, близкий к результату функции 5. Сама же функция 5 слабо колеблется в показаниях, что при дельте в 0.001, что при 0.00001.

Аналогичную ситуацию можно пронаблюдать при сильно вытянутом эллипсе:

Рис.7. Проверка на очень «вытянутом» эллипсе

Таким образом, имеет смысл использовать функции 4 и 5. Одну, как представительницу интегрального сословия, самую быструю и более точную из них. Другую, как представительницу очевидного и простого метода, работающую, между тем, лучше своих интегральных коллег при минимальных ресурсных затратах.

По интерфейсу

Правая кнопка мыши задает стартовый угол. Удерживая правую кнопку мыши можно «прогуляться» по эллипсу. Конечная точка дуги будет следовать за стартовой точкой, отстоя на заданный ранее угол. Если поставить галку на «сохранять параметрическое отклонение», параметрический угол между t1 и t2 станет неизменен. Очень полезно пронаблюдать, как будет меняться сектор.

Левая кнопка мыши задает конечную точку дуги, т.е. угол отклонения.

Источник

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

В астрономии, когда рассматривают движение космических тел по орбитам, часто применяют понятие «эллипс», поскольку их траектории характеризуются именно этой кривой. Рассмотрим в статье вопрос, что представляет собой отмеченная фигура, а также приведем формулу длины эллипса.

Что такое эллипс?

Вам будет интересно: Возраст зрелости у ребенка. Признаки, психология, акселерация

На рисунке выше также показан простой метод с веревкой и двумя гвоздиками, который широко используется для изображения эллиптических кривых. Другой способ получить эту фигуру заключается в выполнении сечения конуса под любым углом к его оси, который не равен 90o.

Если эллипс вращать вдоль одной из его двух осей, то он образует объемную фигуру, которая зазывается сфероидом.

Формула длины окружности эллипса

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Источник

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Источник

Периметр эллипса. Точный онлайн расчет

Расчет длины/периметра эллипса совсем не является тривиальной задачей, как можно было бы подумать.

Легко рассчитать длину окружности, по формуле

Но такой же простой подход совершенно не подходит для эллипса.

В точном выражении периметр эллипса можно выразить только через эллиптические функции вот по такой формуле

В быту, конечно же используются приближеные формулы, о которых мы расскажем.

Одна из них выглядит вот так

В два раза более точные данные дает формула

И еще более точный периметр эллипса дает выражение

Но, все равно каковы бы не были формулы, они все равно только приближенно дают периметр эллипса.

Мы, с помощью точной формулы через эллиптический интеграл, получаем независимость от подобных ограничений, и получаем абсолютную точность, при любых значениях эллипса.

Решение примеров

Эллипс задан уравнением

Найти его периметр

Введем известные параметры a=2 и b=5 и получим результат

Почему в исходных данных, ввести можно только значения полуосей? По другим параметрам, что не считает?

Калькуляторы на этом сайте, в том числе и этот, не предназначены для замены Вашего мозга. Они лишь упрощают рутинные операции, или те операции где возможно ошибиться. И только.

С другой стороны недостаток ума ваших способностей, легко компенсируется деньгами, тем людям, которые за Вас эту работу могут сделать.

Кроме этого есть калькулятор, который по двум точкам стоит каноническое уравнение, а также по любым другим пяти точкам может строить кривую второго порядка на плоскости. Этого на мой взгляд более чем достаточно.

Но в любом случае, если у читателя возникнет желание попросить автора сделать калькулятор по любым другим параметрам, в принципе это сделать можно.

Источник

Как узнать длину окружности овала

Сайт, посвящённый исконному бондарному искусству, его возрождению и распространению

К сожалению, приём новых заказов пока не ведётся

Расчёт параметров овальных изделий

Геометрический метод расчёта параметров овала по Федотову

Для того, чтобы точно определить, какими должны быть клёпки того и другого вида, сколько их должно входить в набор остова, необходимо выполнить некоторые расчёты. Прежде всего на листе бумаги в натуральную величину вычерчивают овальное сечение остова в самой широкой его части. Циркулем проводят вспомогательную окружность, диаметр которой должен быть равен высоте бочонка. (Под высотой в данном случае Г.Я. Федотов подразумевает большую ось овала – это видно из рисунка). Её центр отмечают двумя взаимно перпендикулярными осевыми линиями. Вертикальную ось делят на пять равных частей. Вокруг точек 1 и 4 проводят две малые окружности, касательные к большой вспомогательной окружности. Через точки пересечения горизонтальной осевой линии со вспомогательной окружностью и центры малых окружностей проводят прямые линии. В местах пересечения этих линий с дугами малых окружностей будут находиться так называемые точки сопряжения. Их соединяют с помощью циркуля большими дугами. Центры этих дуг будут находиться на пересечении горизонтальной осевой линии и большой дуги вспомогательной окружности.

Руководствуясь вычерченным на бумаге овалом, изготовляют два шаблона. Контуры одного из них должны соответствовать малой дуге овала, а другого – большой.

Для того чтобы точно установить, сколько клёпок потребуется для сборки остова бочонка, необходимо определить его периметр. Он будет равен сумме длины больших и малых дуг. Длину каждой дуги находят следующим образом. Сначала определяют периметр полных окружностей, частью которых являются дуги, составляющие овал. Периметры устанавливают по формуле 2πR, где π=3,14. Затем, разделив периметр малой окружности на 3 части, получают длину малой дуги. В свою очередь периметр большой окружности делят на шесть частей и определяют длину большой дуги. Суммарную длину двух дуг удваивают и получают периметр овала.

Не правда ли – всё просто? Этот метод действительно работает, и работает безупречно.

Но что, если наше овальное изделие – ванна объёмом литров на 500?

Вычертить её в натуральную величину – задача не из самых лёгких. А ведь таких чертежей нужно два – для верхнего и для нижнего овала.

Масштабирование? Чревато неточностями…

Из геометрии построения, приведённой Г. Я. Федотовым нетрудно вывести формулы, с помощью которых те же величины можно получить, не вычерчивая ничего на бумаге.

Алгебраический метод расчёта параметров овала по Федотову

Несмотря на то, что Геннадий Яковлевич этих формул в книге не приводит, мы всё равно назовём метод его именем, поскольку он верен только для чертежа, приведённого выше, и, по сути, просто его заменяет.

Итак, пусть L – длина овала, l – его ширина, r – радиус малой окружности, R – радиус большой окружности.

1) Находим радиус малой окружности:

r=L/5

2) Находим вспомогательную величину h – расстояние между точкой пересечения осевых линий и центром малой окружности A_1:

h=1,5r

3)Находим вспомогательную величину c – расстояние между двумя параллельными прямыми B₂A₁ и A₂B₁:

c= √ [(L/2) 2 +h 2 ]

4) Находим радиус большой дуги R:

R=c+r

5) Находим вспомогательную величину q – расстояние между точкой B₁ (B₂) и точкой пересечения большой дуги овала и горизонтальной осевой линии:

q=L-R

6) Находим ширину овала l:

l=L-2q

7) Умножаем на 2 радиусы R и r находим параметры D и d. Это наши диаметры – те, что нужны для изготовления шаблонов.

8) Находим длину малой дуги m:

m=πd/3

9) Находим длину большой дуги M:

M=πD/6

10) И, наконец, находим периметр овала p:

p=2(M+m)

Этот расчёт придётся повторить для нахождения параметров второго овала (низа или верха нашей ванны).

При расчёте овала по Федотову нужно иметь в виду некоторые особенности.

Во-первых, мастер может задавать только длину овала L. Его ширина l уже рассчитывается, то есть оказывается жёстко привязана к определённому значению длины. Другими словами, если нам нужно изменить ширину, придётся менять и длину. Это неудобно.

Универсальные формулы для расчётов параметров овала

Однако, оказывается, вертикальную ось овала на нашем чертеже необязательно делить именно на пять частей. Можно и на четыре части, и на три, и на шесть. Более того, вообще необязательно её делить на равные части. Угол, образованный горизонтальной осевой и линиями AB вообще может быть любым (в пределах чертежа, конечно же).

Обозначим этот угол символом γ. И пусть оси овала (его длина и ширина соответственно) равны a и b.

Тогда универсальные формулы для расчёта параметров овала будет выглядеть так:

R=[(b/2*(sin(γ)-1)+(a/2*cos γ)] / [sin γ + cos (γ)-1]

Выглядят страшновато? Хм, пожалуй, так и есть. Но зато, применяя эти формулы, мы можем свободно задавать три параметра: длину овала, его ширину и вспомогательный угол γ. А это означает, что мы можем рассчитать овал с любыми заданными габаритными размерами a и b, да ещё и не один. С одними и теми же значениями a и b мы можем получить столько разных овалов, сколько сможем придумать различных значений вспомогательного угла γ, вписывающихся в чертёж.

Поясним на примере. Пусть нам нужно рассчитать овал, оси которого равны 150 и 84 см соответственно (параметры большого овала нашей ванны на 500 л). Из таблицы видно, как будут меняться диаметры D и d, длины большой и малой дуг M и m, а также периметр овала p в зависимости от изменения угла γ.

Источник

• ← как узнать длину окружности колеса
• как узнать длину окружности по диаметру калькулятор →