как узнать длину сторон равнобедренного треугольника
Стороны равнобедренного треугольника
Свойства
Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2
Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a
Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4
Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α
Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cosα=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cosβ=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )
Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2
В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2
Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))
Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )
Как посчитать стороны равнобедренного треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника
Если известна сторона b и угол α
Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол α?
Формула
Пример
Если сторона b = 10 см, а ∠α = 30°, то:
Если известна сторона b и угол β
Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол β?
Формула
Пример
Если сторона b = 10 см, а ∠β = 30°, то:
a = 10 /2⋅sin 15 = 10/(2⋅0.2588) = 19.31см
Если известна сторона b и высота h
Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и высота h?
Формула
Пример
Если сторона b = 10 см, а высота h = 20 см, то:
a = √ 1 /10 2 + 20 2 = √ 0.01+400 = 20.61см
Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника
Если известна сторона a и угол α
Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?
Формула
Пример
Если сторона a = 10 см, а ∠α = 30°, то:
b = 2⋅10⋅cos 30° = 2⋅10⋅0.8660 = 17.32см
Если известна сторона a и угол β
Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?
Формула
Пример
Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то:
Если известна сторона a и высота h
Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и высота h?
Формула
Пример
Если сторона a = 10 см, а высота h = 5 см, то:
Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
Формулы длины стороны (основания), (b ):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:
| Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.
Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.
А вот и доказательство:
Вуаля, сразу три теоремы доказаны.
Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).
Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.
Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.
Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
a — равные стороны равнобедренного треугольника
α — углы при основании
β — угол, образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника
Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
a — равные стороны равнобедренного треугольника
α — углы при основании
β — угол, образованный равными сторонами
L — высота, биссектриса и медиана
Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)
Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘
Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.
Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Содержание:
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
АВ = ВС — боковые стороны
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.
Боковые стороны равны АВ = ВС,
Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.
Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника
Доказательство теоремы:
Вывод:
Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.
Доказательство теоремы:
Доказательство от противного.
Признаки равнобедренного треугольника
Формулы равнобедренного треугольника
Формулы сторон равнобедренного треугольника
Формулы длины стороны (основания — b):
Формулы длины равных сторон — (а):
Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Площадь равнобедренного треугольника
Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):