как узнать гипотенузу прямоугольного треугольника

Гипотенуза и угол «α» прямоугольного треугольника

Свойства

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1) β=90°-α a=c sin⁡α b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов. P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения. S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2) h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.3) m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.4) l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α ) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7) M_a=a/2=(c sin⁡α)/2 M_b=b/2=(c cos⁡α)/2 M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее. Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два. Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1) R=c/2

Источник

Калькулятор прямоугольного треугольника

Корзина

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите известные параметры прямоугольного треугольника:
а) 2 катета,
б) катет и гипотенуза,
в) катет и противолежащий острый угол,
г) гипотенуза и острый угол.
Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».

При помощи калькулятора прямоугольного треугольника можно найти гипотенузу онлайн, а также катеты, величины острых и противолежащих углов прямоугольного треугольника.

В форме калькулятора гипотенузы указываются два параметра прямоугольного треугольника онлайн: две стороны или острый угол и сторона.

Для углов имеются два поля: для градусов и для минут.

Далее заполнить поле «Текст с картинки» и нажать «Решить». Компьютерная программа автоматически сделает расчет.

Приводятся ответы с подробными решениями, включая формулы. Для решения задач используется теорема Пифагора. Катеты и гипотенуза вычисляются через синус.

Примеры решения калькулятора прямоугольного треугольника:
1) как найти неизвестный катет или катеты, если известна гипотенуза, равная 2 см, и острый угол 20°. В поле для гипотенузы «c» указывается 2, в поле «Угол (градусов, °)» ставится 20, в поле «Угол (минут, ‘)» указывается 0. Ответ онлайн калькулятора прямоугольного треугольника: длина катетов a = 0,68 см; b = 1,88 см, острый угол B = 70°.

2) пример вычисления неизвестных сторон и острых углов прямоугольного треугольника по двум катетам или по гипотенузе и катету. Вопрос: как найти угол прямоугольного треугольника, зная его стороны, т.е. зная 2 катета или 2 стороны. Известна длина катетов a=11, b=60.

В полях для катетов «a» указывается 11, в поле «b» 60. Нажать «Решить». В ходе решения находим третью сторону – гипотенузу – и находим угол в прямоугольном треугольнике, уже зная все стороны.

Ответ калькулятора гипотенузы: гипотенуза c=61, значения углов A= 10°23′, B = 79°37′. Если даны катет и гипотенуза, то заполняются поля для катета «a» и для гипотенузы «c».

3) с помощью этого онлайн-калькулятора можно решить задачу, где требуется найти катет онлайн, или как найти гипотенузу, зная катет и угол. Например, a=3, противолежащий угол = 30°27′. В поле для катетов «a» указывается 3, в поле «Угол (градусов, °)» ставится 30, в поле «Угол (минут, ‘)» указывается 27. Ответ калькулятора углов прямоугольного треугольника: гипотенуза c = 5,92; катет b = 5,10; угол 59°33’.

Калькулятор сторон прямоугольного треугольника может найти гипотенузу по катету и углу. Онлайн калькулятор гипотенузы находит катет по гипотенузе и углу.

Если стоит задача, как найти катет, если известна гипотенуза и угол, то можно использовать решение прямоугольного треугольника на этой странице. Гипотенузу прямоугольного треугольника, его угол быстро вычисляет компьютерная программа. Калькулятор теоремы Пифагора может найти катет по углу и катету.

Здесь предлагаются ответы на тесты, если требуется вычислить угол по двум катетам. Расчет гипотенузы выполняется онлайн.

Вычисление гипотенузы и углов прямоугольного треугольника при помощи калькулятора катетов дает ответы на следующие тестовые задания по теме «катет и гипотенуза«:
— как найти угол прямоугольного треугольника, зная его стороны,
— узнать гипотенузу, катет прямоугольного треугольника,
— определить гипотенузу по двум катетам,
— рассчитать третью сторону прямоугольного треугольника,
— вычислить катет, если известна гипотенуза и угол,
— найти решение прямоугольного треугольника,
— определить длину гипотенузы, зная 2 катета,
— посчитать угол в прямоугольном треугольнике,
— узнать гипотенузу по катетам,
— рассчитать величину угла в градусах и минутах по катетам,
— найти длину катета по катету и углу,
— вычислить угол или углы прямоугольного треугольника онлайн,
— решить прямоугольный треугольник,
— подсчитать угол по катетам,
— найти сторону прямоугольного треугольника,
— рассчитать прямоугольный треугольник онлайн.

Источник

Слово «гипотенуза» со школьных времен у многих вызывает негативные ассоциации. Добавим загадочного и непонятного. Происходит от греческого «ὑποτείνουσα».

А ведь означает всего-навсего «вытянутый». И речь идет о простейшей форме треугольника – прямоугольной (рис. 1).

Гипотенузой называют сторону напротив прямого угла. Самую протяженную. В данном случае – с. Остальные составляющие – катеты.

Простыми фигурами интересовались древние строители Вавилона и Египта. А особенно – землемеры. Еще бы: ведь основа любой цивилизации – распределение угодий и налоги.

Считается, что теоретическая база была доказательно предложена Пифагором в V-м веке до н. э. Хотя, скорее всего, это было сделано ранее.

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов составляет квадрат гипотенузы:

Верно и обратное утверждение. Треугольник, удовлетворяющий приведенному равенству – прямоугольный.

Формула верна только в Евклидовой геометрии, где параллельные прямые не пересекаются.

Утверждение приведено в современной интерпретации. В оригинале выглядит несколько по-другому: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, идентична сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2).

Существует масса способов доказательства. В том числе весьма сложных. А попадаются удивительно изящные, как например, на рисунке 3:

В тригонометрии

Построим на плоскости прямоугольную систему координат с единичной (с радиусом, равным 1) окружностью с центром в точке (0; 0). B – пересечение угла α и кривой (рис. 4).

На оси абсцисс X отмечается cos α; на оси ординат Y – sin α.

В получившемся прямоугольном треугольнике отрезок 0B является гипотенузой. Учитывая доказанную теорему, выводим основное равенство математической дисциплины:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Связана со сторонами следующими соотношениями (см. рис. 1):

a – противолежащий α катет;

Величины sin α и cos α меньше либо равны 1, что очевидно из рис. 4. Но в треугольнике не может быть два прямых угла. Как не может быть нулевого.

Это означает, что гипотенуза – всегда наибольшая сторона треугольника, т. е.

Гипотенуза равнобедренного треугольника

В такой фигуре катеты равны и являются сторонами прямого угла (рис. 5). Расчет гипотенузы c производится по формуле теоремы Пифагора.

Нетрудно заметить, что углы α = 45°. Поскольку сумма всех равна 180°.

Пример решения задачи

Дан прямоугольный треугольник ABC (рис. 1). Рассчитайте длину AB, если b = 20 см, а β = 70°.

AC является катетом, противолежащим углу β. Значит нахождение гипотенузы сводится к отношениям:

В интернете есть онлайн калькуляторы для оперативного расчета величины. Но целесообразно ими пользоваться разве что при значительном объеме вычислений. Ведь формулы довольно просты.

Связанные с упомянутыми фигурами задачи распространены в реальной жизни. Приведенные уравнения призваны помочь в решении.

Источник

Найти гипотенузу треугольника формула

Гипотенуза, что такое гипотенуза. Формула гипотенузы треугольника. Как найти гипотенузу, примеры задач на поиск гипотенузы. Посчитать длину гипотенузы онлайн.

О гипотенузе.

Что такое гипотенуза!?

С самого начала начнем с определение, что такое гипотенуза :

Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза существует только у прямоугольного треугольника!

Гипотенузу можно найти по теореме Пифагора

Формула гипотенузы треугольника :

Дадим определение формулы гипотенузы треугольника:

Гипотенуза треугольника равна корню квадратному из квадратов сторон треугольника.

Задача/пример найти длину гипотенузы.

Найдите длину гипотенузы, если длина стороны а = 8см и длина стороны b = 6см.

Нам уже не нужно выводить дополнительные формулы, мы уже это сделали выше:

Нам нужно всего лишь заменить наши буквенные обозначения числовыми значениями.

Корень из 100 равен 10.

Длина гипотенузы в прямоугольном прямоугольнике, у которого одна сторона равна 8 см, а вторая 6см, равна 10

Найти длину гипотенузы онлайн

Для того, чтобы найти длину гипотенузы онлайн, вы можете воспользоваться нашей страницей.

Для того, чтобы найти длину гипотенузы :

В первом поле введите длину первой стороны.

Во втором поле введите длину второй стороны.

Источник

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

,

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

a​ 2 ​​ = c​ 2 ​​ – b​ 2 ​​ ,

b​ 2 ​​ = c​ 2 – a​ 2 ​​.

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R):

.

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:

.

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

.

Источник