как узнать какой треугольник
Виды треугольников
Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.
Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).
 |
Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).
 |
Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).
 |
Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.
Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).
 |
Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).
 |
Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).
 |
В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.
Геометрия. Урок 3. Треугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение треугольника
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Виды треугольников
Основные свойства треугольника:
Отрезки в треугольнике
Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Свойства биссектрис треугольника:
Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медиан треугольника:
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.
Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.
Площадь треугольника
Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Свойства равноберенного треугольника:
Равносторонний треугольник
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4
Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2
Прямоугольный треугольник
Свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками
Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника
Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.
Определение треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.
Посмотрите на треугольник на рисунке.
У него три вершины — 
, 
, 
и три стороны 
, 
и 
. У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут 
([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке
будут звать 
([эм-эн-ка]).
По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.
В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.
Высота треугольника
В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.
Например, в треугольнике , высотой будет отрезок 
.
А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.
В этом треугольнике три высоты 
, , 
.
Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.
Виды треугольника
Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.
Виды треугольников по углам
В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный
, треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.
Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:
Виды треугольников по сторонам
Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.
На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.
Свойства сторон треугольника
Треугольник имеет важные свойства и характеристики.
Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.
Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.
Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть:
Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон 
, а 
см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?
Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:
Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.
Правило существования треугольника
Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.
Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.
Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?
Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.
Свойство углов в треугольнике
Сумма всех углов в треугольнике равна 
.
Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 
.
Например, пусть известно, что в треугольнике , 
, 
, нужно найти 
.
Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:
.
Ответ: 
.
Элементы композиции
Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.
А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:
Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.
Треугольник
Определение треугольника
В любом треугольнике три угла и три стороны.
Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Виды треугольников
Основные линии треугольника
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.
Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.
Признаки равенства треугольников
I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.
Признаки подобия треугольников
Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.
I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.
Теоремы треугольников
Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.
Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.
Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.
Примеры решения задач
| Задание | Доказать, что в равнобокой трапеции диагонали равны. |
| Доказательство | В равнобокой трапеции  рассмотрим треугольники  и  (рис. 1). Так как  – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку, а значит, равны все их элементы, т.е.  . |
Что и требовалось доказать.
| Задание | В треугольнике  стороны  см  см  см. На стороне  отмечена точка  так, чтобы  см. Найти отрезок  . |
| Решение | Рассмотрим треугольники и  . Запишем отношение сторон  и  : |
Так как выполняется равенство отношений, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а также 
– общий угол. Следовательно, треугольники и – подобны (по второму признаку подобия). Найдем сторону :
откуда 
см.
Треугольник
Треугольник произвольный
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).
Виды треугольников :+ показать
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).
Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.
Свойства
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: 
(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Признаки равенства треугольников
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.
Биссектриса, высота, медиана
Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.
Описанная окружность
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
Теорема косинусов: 
Теорема синусов: 
Площадь треугольника
Через сторону и высоту
Через две стороны и угол между ними
Через радиус описанной окружности
Через радиус вписанной окружности
, где 
– полупериметр
, где – полупериметр
Смотрите также площадь треугольника здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉
Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!
В разделе свойства: 
Да, не хватало значка «
» у А. Спасибо! 😉
Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.
Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении 
, то выходим на уравнение 
Откуда 
Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть 
Применяем теорему синусов: 
, откуда 
спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!
Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3
Очевидно, 
Примите 
за 
.
Примените к треугольнику 
теорему косинусов: 
Найдете , далее можно найти угол 
и из треугольника 
найти 
Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно