как узнать какой цифрой оканчивается число в степени
Исследовательская работа «Ключ к угадыванию цифры»
Разделы: Математика
Основная часть
I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.
После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:
а) 
, 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
.
Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями
Например, = 
*
*
* 
или 
В ходе решения таких задач мы поняли, что
всегда оканчивается (при натуральном) n на 6.
Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.
 =  *  * * *  | или  | ||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 3 | 1 | 3 | |
 | 3 | ||||||
| 1 | 3 | 3 | |||||
| 3 | |||||||
Значит, последняя цифра степени равна 3.
Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 | 0 |
 | 1 | 6 | 1 | 6 | 5 | 6 | 1 | 6 | 1 | 0 |
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.
К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.
Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
Вернулись к нашим же примерам.
Найти последнюю цифру степеней: , 
, 
, 
;.
| | 20: 4 = 5 (остаток 0) | 1 |
| | 8: 4 = 2 (остаток 0) | 6 |
| | 36: 4 = 9 (остаток 0) | 6 |
 | 24: 4 = 6 (остаток 0) | 1 |
| | 12: 4 = 3 (остаток 0) 5 |
Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.
Далее мы начали подбирать такие степени, когда при делении показателя степени на 4 получаются остатки 1, 2, 3.
Например, 
.
 | 5: 4= 1 (остаток 1) | 2 |
 | 1989:4 = 497 (остаток 1) | 3 |
Если остаток равен 1, то искомая цифра будет равна последней цифре основания степени.
 | 22: 4 = 5 (остаток 2) | 4 |
 | 18: 4 = 4 (остаток 2) | 9 |
Если остаток равен 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания.
 | 43: 4 = 10 (остаток 3) | 3 |
 | 19: 4 = 4 (остаток 3) | 8 |
Если остаток равен 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания.
А если степени с очень большими показателями?
Например, 
Мы легко справились и с этой задачей.
Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.
Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:
Найти остаток от деления показателя степени на 4;
Если остаток равен
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;
б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;
г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.
Мы научились быстро находить последнюю цифру степени и попробовали расширить круг знаний. Например, мы составили такие задачи.
III. Составление упражнений на применение алгоритма.
1. Доказать, что число 
кратно 2.
2. Доказать, что 
-1 кратно 5 (при натуральном n).
3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n.
4. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
Как узнать какой цифрой оканчивается число в степени
Введение
«Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?
Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.
2. Последняя цифра степени
Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.
3. Закономерности возведения в степень
Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.
Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.
Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.
Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.
Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой
Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.
Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3
Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;
Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.
4. Последние две цифры степени
Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:
Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.
Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.
Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:
Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени
5. Заключение
Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.
6. Задачи
Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
(8+3=11, последняя цифра 1)
Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?
(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)
(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)
Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).
Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?
11. Доказать, что число кратно 2.
7. Использованная литература
1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.
2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.
4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995
6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).
Как определить последнюю цифру числа в степени
Разделы: Математика
Основная часть
I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.
После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:
а) 
, 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
.
Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями
Например, = 
*
*
* 
или 
В ходе решения таких задач мы поняли, что
всегда оканчивается (при натуральном) n на 6.
Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.
 =  *  * * *  | или  | ||||||
| 9 | 9 | 9 | 9 | 3 | 1 | 3 | |
 | 3 | ||||||
| 1 | 3 | 3 | |||||
| 3 | |||||||
Значит, последняя цифра степени равна 3.
Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.
Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во – второй строке – цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 | 0 |
 | 1 | 6 | 1 | 6 | 5 | 6 | 1 | 6 | 1 | 0 |
 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.
К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.
После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что:
Мы поставили перед собой такую задачу, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
II. Составление алгоритма нахождения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.
Вернулись к нашим же примерам.
Найти последнюю цифру степеней: , 
, 
, 
;.
| 20: 4 = 5 (остаток 0) | 1 |
| 8: 4 = 2 (остаток 0) | 6 |
| 36: 4 = 9 (остаток 0) | 6 |
 | 24: 4 = 6 (остаток 0) | 1 |
| 12: 4 = 3 (остаток 0) 5 |
Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.
Далее мы начали подбирать такие степени, когда при делении показателя степени на 4 получаются остатки 1, 2, 3.
Например, 
.
 | 5: 4= 1 (остаток 1) | 2 |
 | 1989:4 = 497 (остаток 1) | 3 |
Если остаток равен 1, то искомая цифра будет равна последней цифре основания степени.
 | 22: 4 = 5 (остаток 2) | 4 |
 | 18: 4 = 4 (остаток 2) | 9 |
Если остаток равен 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания.
 | 43: 4 = 10 (остаток 3) | 3 |
 | 19: 4 = 4 (остаток 3) | 8 |
Если остаток равен 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания.
А если степени с очень большими показателями?
Например, 
Мы легко справились и с этой задачей.
Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.
Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:
Найти остаток от деления показателя степени на 4;
Если остаток равен
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;
б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;
г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.
Мы научились быстро находить последнюю цифру степени и попробовали расширить круг знаний. Например, мы составили такие задачи.
III. Составление упражнений на применение алгоритма.
1. Доказать, что число 
кратно 2.
2. Доказать, что 
-1 кратно 5 (при натуральном n).
3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n.
4. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?
Введение
«Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?
Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.
2. Последняя цифра степени
Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:
Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.
3. Закономерности возведения в степень
Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.
Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.
Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.
Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.
Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,
Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой
Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4
Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.
Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3
Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;
Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;
Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.
4. Последние две цифры степени
Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:
Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.
Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.
Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:
Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени
5. Заключение
Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.
6. Задачи
Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)
Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)
(8+3=11, последняя цифра 1)
Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.
(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)
В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?
(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)
(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)
Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).
Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?
(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 – (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).
11. Доказать, что число кратно 2.
7. Использованная литература
1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.
2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.
3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева – СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.
4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.
6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).
7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. – 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.
МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»
Научное сообщество учащихся «Поиск»
Тема: « Последняя цифра степени.»
Выполнила: ученица 7 «б» класса
Руководитель: Пушило Т.Л.
· Последняя цифра степени.
· Закономерности возведения в степень
· Две последних цифры степени.
Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы
Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…
Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?
· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.
· Найти закономерность в них.
· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.
| 2 1 = 2 2 5 = 32 2 9 = 512 | 2 2 = 4 2 6 = 64 2 10 = 1024 | 2 3 = 8 2 7 = 128 2 11 = 2048 | 2 4 = 16 2 8 = 256 2 12 = 4096 |
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:
Две последних цифры степени.