как узнать коэффициент жесткости

Как найти коэффициент жёсткости пружины: формула, определение

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

Последовательность действий для опыта такова:

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Источник

Коэффициент жесткости пружины

Пружины можно назвать одной из наиболее распространенных деталей, которые являются частью простых и сложных механизмов. При ее изготовлении применяется специальная проволока, накручиваемая по определенной траектории. Выделяют довольно большое количество различных параметров, характеризующих это изделие. Наиболее важным можно назвать коэффициент жесткости. Он определяет основные свойства детали, может рассчитываться и применяться в других расчетах. Рассмотрим особенности подобного параметра подробнее.

Определение и формула жесткости пружины

При рассмотрении того, что такое коэффициент жесткости пружины следует уделить внимание понятию упругости. Для ее обозначения применяется символ F. При этом сила упругости пружины характеризуется следующими особенностями:

Не стоит забывать о том, что жесткость – характеристика, свойственная упругим телам, способным деформироваться. Довольно распространенным вопросом можно назвать то, как обозначается жесткость пружины на чертежах или в технической документации. Чаще всего для этого применяется буква k.

Слишком сильная деформация тела становится причиной появления различных дефектов. Ключевыми особенностями можно назвать следующее:

Довольно большое распространение получили красные пружины и другого типа. Цветовое обозначение применяется в случае производства автомобильных изделий. Для расчета применяется следующая формула: k=Gd 4 /8D 3 n. В этой формуле указываются нижеприведенные обозначения:

Рассматриваемая формула применяется в случае расчета коэффициента жесткости для цилиндрических пружин, которые устанавливаются в самых различных механизмах. Подобная единица измеряется в Ньютонах. Коэффициент жесткости для стандартизированных изделий можно встретить в технической литературе.

Формула жесткости соединений пружин

Не стоит забывать о том, что в некоторых случаях проводится соединение тела нескольким пружинами. Подобные системы получили весьма широкое распространение. Определить жесткость в этом случае намного сложнее. Среди особенностей соединения можно отметить нижеприведенные моменты:

В обеих случаях применяется определенная формула, которая определяет особенности подключения. Модуль силы упругости может существенно отличаться в зависимости от особенностей конкретного изделия.

При последовательном соединении изделий показатель рассчитывается следующим образом: 1/k=1/k₁+1/k₂+…+1/k_n. Рассматриваемый показатель считается довольно важным свойством, в данном случае он снижается. Параллельный метод подключения рассчитывается следующим образом: k=k₁+k₂+…k_n.

Подобные формулы могут использоваться при самых различных расчетах, чаще всего на момент решения математических задач.

Коэффициент жесткости соединений пружин

Приведенный выше показатель коэффициента жесткости детали при параллельном или последовательном соединении определяет многие характеристики соединения. Довольно часто проводится определение тому, чему равно удлинение пружины. Среди особенностей параллельного или последовательного соединения можно отметить нижеприведенные моменты:

Для проведения расчетов нужно построить схему подключения всех элементов. Основание представлено линией со штриховкой, изделие обозначается схематически, а тело в упрощенном виде. Кроме этого, от упругой деформации во многом зависит кинетическая и другая энергия.

Коэффициент жесткости цилиндрической пружины

На практике и в физике довольно большое распространение получили именно цилиндрические пружины. Их ключевыми особенностями можно назвать следующие моменты:

Не стоит забывать о том, что выделяют два типа деталей: сжатия и растяжения. Их коэффициент жесткости определяется по одной и той же формуле. Разница заключается в следующем:

Расчет коэффициента цилиндрической пружины может проводится при использовании ранее указанной формулы. Она определяет то, что показатель зависит от следующих параметров:

Коэффициент жесткости считается одним из наиболее важных параметров, который учитывается при проведении самых различных расчетов.

Единицы измерения

При проводимых расчетах также должно учитываться то, в каких единицах измерениях проводятся вычисления. При рассмотрении того, чему равно удлинение пружины уделяется внимание единице измерения в Ньютонах.

Для того чтобы упростить выбор детали многие производители указывают его цветовым обозначением.

Разделение пружины по цветам проводится в сфере автомобилестроения.

Среди особенностей подобной маркировки отметим следующее:

Как правило, подобное свойство отмечается на внешней стороне витка. Производители наносят небольшую полоску, которая и существенно упрощает процесс выбора.

Особенности расчета жесткости соединений пружин

Приведенная выше информация указывает на то, что коэффициент жесткости является довольно важным параметром, который должен рассчитываться при выборе наиболее подходящего изделия и во многих других случаях. Именно поэтому довольно распространенным вопросом можно назвать то, как найти жесткость пружины. Среди особенностей соединения отметим следующее:

Как ранее было отмечено, выделяют последовательный и параллельный метод соединения. Оба характеризуются своими определенными особенностями, которые должны учитываться.

В заключение отметим, что рассматриваемая деталь является важной частью конструкции различных механизмов. Неправильный вариант исполнения не сможет прослужить в течение длительного периода. При этом не стоит забывать о том, что слишком сильная деформация становится причиной ухудшения эксплуатационных характеристик.

Источник

Определение жесткости пружины

Жесткость — способность твёрдого тела, конструкции или её элементов сопротивляться деформации от приложенного усилия вдоль выбранного направления в заданной системе координат.

Сила жесткости — сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть его в исходное состояние.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

От чего зависит жесткость

Жесткость пружины зависит от нескольких параметров:

Геометрия пружины

На жесткость витой пружины влияет:

Диаметр намотки измеряется от оси пружины. Так как длина проволоки в пружине значительно больше длины упругого стержня, сопротивляемость внешней деформации многократно возрастает.

Волновые пружины состоят из металлических лент, навитых ребром по окружности заданного диаметра.

Их основные геометрические параметры:

Тип материала

У каждого материала есть условный предел упругости, характеризующий его способность восстанавливаться после деформации. Если этот предел превышается, в структуре материала возникают необратимые изменения.

Предел упругости — механическая характеристика материала, показывающая максимальное напряжение, при котором имеют место только упругие, обратимые деформации.

Предел упругости измеряют в паскалях и определяют по формуле:

где F — действие внешней силы на исследуемый образец, приводящее к повреждениям, а S — его площадь.

Кроме предела упругости, существуют такие характеристики упругости материалов, как модули упругости (модуль Юнга) и сдвига, коэффициент жесткости и другие. Все они взаимосвязаны, поэтому, выяснив значение одной из величин с помощью справочной таблицы, можно вычислить другие.

Коэффициент

Согласно закону Гука, при малой деформации абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине деформации.

Эта линейная зависимость описывается формулой:

где k — коэффициент жесткости, а х — величина, на которую сжалась или растянулась пружина.

Деформация считается малой в том случае, когда изменение размеров тела значительно меньше его первоначальных размеров.

Срок эксплуатации

Нахождение под напряжением приводит к постепенной необратимой деформации, называемой ослаблением пружины.

Жесткость пружины влияет на срок ее эксплуатации, как и сила воздействия. Конструкторы пружин, предварительно рассчитав эти параметры, проводят тесты на прототипах, прежде чем начать массовое производство. В специальных установках для испытания на усталость материала их сжимают и отпускают определенное количество циклов, отдельно проверяя поведение пружин при максимальной и минимальной нагрузке.

В чем измеряется жесткость

Жесткость пружины в системе СИ измеряется в ньютонах на метр, Н/м. Также встречается единица измерения ньютон на миллиметр, Н/мм. Численно жесткость равна величине силы, изменяющей размер пружины на метр длины.

Как обозначается

Коэффициент жесткости пружины обозначают буквой k.

Коэффициент жесткости пружины

Коэффициент жесткости — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу жесткости.

Применяется в механике твердого тела в разделе упругости.

Формула расчета через массу и длину

Используя закон Гука, коэффициент жесткости можно вычислить по формуле:

Чтобы выяснить силу тяжести, воздействующую на пружину, нужно воспользоваться формулой:

где m — масса подвешенного на пружине тела, а g — величина свободного ускорения, равная 9,8.

Чтобы найти х, нужно дважды измерить длину пружины и вычислить разницу между этими двумя значениями.

При соединении нескольких пружин общая жесткость системы меняется. Коэффициенты каждой из пружин суммируются при параллельном соединении. При последовательном соединении общая жесткость вычисляется по формуле:

Как можно измерить жесткость

Измерительные приборы

Приборы для испытания пружин на сжатие-растяжение контролируют приложенное усилие с помощью тензометрического датчика, а также изменение их длины, выводя показатели на дисплей. Без специального прибора измерить осевую жесткость можно, используя динамометр и линейку.

Существуют приборы и для измерения поперечной жесткости пружин. Для этого нужно измерить смещение нескольких точек пружины, определив расстояние и угол между ними.

Практическая задача

Самый простой способ измерить жесткость пружины — провести стандартный школьный опыт со штативом и подвешенными на пружине грузиками.

Для измерения осевой жесткости спиральной пружины используют:

Проведя несколько измерений с грузиками разной массы и вычислив силу тяжести, воздействовавшую на пружину в каждом из них, можно построить график зависимости длины пружины от приложенного усилия и узнать среднее значение коэффициента жесткости.

Альтернативные способы определения жесткости

Жесткость пружины можно определить и через период ее колебания, воспользовавшись формулой:

Или через частоту колебаний по формуле:

Проводя опыт с пружиной, закрепленной на штативе, и грузиками с известной массой, можно не измерять длину пружины, а привести ее в колебательное движение и сосчитать количество колебаний в период времени.

Формула расчета через длину, дающая более точные результаты и применимая к пружинам со значительной деформацией, различается для пружин разных геометрических параметров. Например, жесткость витой цилиндрической пружины, упруго деформируемой вдоль оси, вычисляется по формуле:

где \(d_D\) — диаметр проволоки, \(d_F\) — диаметр намотки, \(G\) — модуль сдвига, который зависит от материала, а \(n\) — число витков.

Задача

Рассчитайте коэффициент жесткости пружины, если известно, что ее диаметр 20 мм, диаметр проволоки 1 мм, число витков — 25. Модуль сдвига равен \(8\times\;10^<10>\;\) Па.

Решение

Переведем числовые значения в систему СИ и подставим в формулу:

Жесткость при деформации кручения существенно отличается от жесткости сжатия-растяжения. Предел прочности при кручении у любого материала будет меньше, чем предел прочности при сжатии-растяжении или изгибе. Торсионная жесткость, также называемая крутильной, в системе СИ измеряется в ньютон-метрах на радиан, сокращенно Н-м/рад. Ее можно определить по формуле:

где \(М\) — крутящий момент, приложенный к телу, а \(\alpha\) — угол закручивания тела по оси приложения крутящего момента.

Источник

Сила упругости

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

Сила — это физическая векторная величина, которую воздействует на данное тело со стороны других тел.

Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Деформация

Деформация — это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил

Происходит деформация из-за различных факторов: при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела.

Деформация является деформацией, пока сила, вызывающая эту деформацию, не приведет к разрушению.

На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преимущественно перпендикулярно (нормально) приложенной силой, а другие — преимущественно с силой, приложенной по касательной.

По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:

Сила упругости: Закон Гука

Деформацию тоже можно назвать упругой (при которой тело стремится вернуть свою форму и размер в изначальное состояние) и неупругой (когда тело не стремится вернуться в исходное состояние).

При деформации возникает сила упругости— это та сила, которая стремится вернуть тело в исходное состояние, в котором оно было до деформации.

Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела, про­порциональна абсолютному значению изменения длины тела. Выражение, описывающее эту закономерность, называется законом Гука.

Закон Гука

Fупр = kx

Fупр — сила упругости [Н]
k — коэффициент жесткости [Н/м]
х — изменение длины (деформация) [м]

Изменение длины может обозначаться по-разному в различных источниках. Варианты обозначений: x, ∆x, ∆l.

Это равноценные обозначения — можно использовать любое удобное.

Поскольку сила упругости направлена против направления силы, с которой это тело деформируется (она же стремится все «распрямить»), в Законе Гука должен быть знак минус. Часто его и можно встретить в разных учебниках. Но поскольку мы учитываем направление этой силы при решении задач, знак минус можно не ставить.

Задачка

На сколько удлинится рыболовная леска жесткостью 0,3 кН/м при поднятии вверх рыбы весом 300 г?

Решение:

Сначала определим силу, которая возникает, когда мы что-то поднимаем. Это, конечно, сила тяжести. Не забываем массу представить в единицах СИ – килограммах.

Если принять ускорение свободного падения равным 10 м/с*с, то модуль силы тяжести равен :

Тогда из Закона Гука выразим модуль удлинения лески:

Выражаем модуль удлинения:

Подставим числа, жесткость лески при этом выражаем в Ньютонах:

x=3/(0,3 * 1000)=0,01 м = 1 см

Ответ: удлинение лески равно 1 см.

Параллельное и последовательное соединение пружин

В Законе Гука есть такая величина, как коэффициент жесткости— это характеристика тела, которая показывает его способность сопротивляться деформации. Чем больше коэффициент жесткости, тем больше эта способность, а как следствие из Закона Гука — и сила упругости.

Чаще всего эта характеристика используется для описания жесткости пружины. Но если мы соединим несколько пружин, то их суммарная жесткость нужно будет рассчитать. Разберемся, каким же образом.

Последовательное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием одной точки соединения пружин.

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

1/k = 1/k₁ + 1/k₂ + … + 1/k_i

k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе [-]

Параллельное соединение системы пружин

Последовательное соединение характерно наличием двух точек соединения пружин.

В случае когда пружины соединены параллельно величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин

k — общая жесткость системы [Н/м] k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента [Н/м] i — общее количество всех пружин, задействованных в системе [-]

Задачка

Какова жесткость системы из двух пружин, жесткости которых k₁ = 100 Н/м, k₂ = 200 Н/м, соединенных: а) параллельно; б) последовательно?

Решение:

а) Рассмотрим параллельное соединение пружин.

При параллельном соединении пружин общая жесткость

k = k₁ + k₂ = 100 + 200 = 300 Н/м

б) Рассмотрим последовательное соединение пружин.

При последовательном соединении общая жесткость двух пружин

1/k = 1/100 + 1/200 = 0,01 + 0,005 = 0,015

k = 1000/15 = 200/3 ≃ 66,7 Н/м

График зависимости силы упругости от жесткости

Закон Гука можно представить в виде графика. Это график зависимости силы упругости от изменения длины и по нему очень удобно можно рассчитать коэффициент жесткости. Давай рассмотрим на примере задач.

Задачка 1

Определите по графику коэффициент жесткости тела.

Решение:

Из Закона Гука выразим коэффициент жесткости тела:

Снимем значения с графика. Важно выбрать одну точку на графике и записать для нее значения обеих величин.

Например, возьмем вот эту точку.

В ней удлинение равно 2 см, а сила упругости 2 Н.

Переведем сантиметры в метры: 2 см = 0,02 м И подставим в формулу: k = F/x = 2/0,02 = 100 Н/м

Ответ:жесткость пружины равна 100 Н/м

Задачка 2

На рисунке представлены графики зависимости удлинения от модуля приложенной силы для стальной (1) и медной (2) проволок равной длины и диаметра. Сравнить жесткости проволок.

Решение:

Возьмем точки на графиках, у которых будет одинаковая сила, но разное удлинение.

Мы видим, что при одинаковой силе удлинение 2 проволоки (медной) больше, чем 1 (стальной). Если выразить из Закона Гука жесткость, то можно увидеть, что она обратно пропорциональна удлинению.

Значит жесткость стальной проволоки больше.

Ответ: жесткость стальной проволоки больше медной.