как узнать косинус если известен синус
Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.
В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.
Рассмотрим подробно каждый случай.
Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.
Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
Изобразим данные формулы на рисунке:
Для каждой группы соответствуют свои значения.
Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.
Линии тригонометрических функций
Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.
Рассмотрим их на подробном рисунке
Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.
Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.
Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.
Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.
Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.
Значения основных функций тригонометрии
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере
Сведение к углу
Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.
Использование формул
Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.
Частные случаи
Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.
Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.
Как найти cos
Здравствуйте!
Помогите разобраться как найти cos, tg и ctg, если известен только sin.
Спасибо!
Разберемся, как найти cos, tg и ctg, если известен только sin.
Начнем с косинуса.
Синус и косинус связывает много тригонометрических тождеств, но наиболее часто используется и является зачастую самым удобным основное тригонометрическое тождество. С его помощью можно найти квадрат косинуса или сам косинус. Приведем вариант тождества для вычисления косинуса через синус:
Так можно найти квадрат косинуса:
Так можно найти косинус:
Рассмотрим тангенс.
Поскольку тангенс можно найти через отношение синуса на косинус, а косинус можно выразить через синус, то получим следующую формулу:
с котангенсом ситуация похожа на тангенс, только котангенс равен отношению косинуса к синусу, поскольку котангенс является обратной функцией к тангенсу. Получим соответственно обратную формулу и для его нахождения по сравнению с тангенсом:
Есть, конечно же, и другие формулы для вычисления значений заданных функций через синус, но представленные выше являются основными, тем более их можно не заучивать наизусть, а при необходимости вывести самостоятельно. Как видите, для этого достаточно знать только одну формулу и основное свойство функций тангенс и котангенс.
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
В статье мы расскажем, как находить значения:
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac<1><2>=±0,5\); \(±\frac<\sqrt<2>> <2>≈±0,707\); \(±\frac<\sqrt<3>> <2>≈±0,866\).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\), а четверти \(90^°\);
Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:
Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).
Как находить синус и косинус любого угла?
\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos(-540^°)=-1\), а \(\sin(-540^° )=0\).
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt<3>\cos(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы?
В статье мы рассмотрим, как найти значения:
Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:
— косинус числа равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус числа равен ординате точки на числовой окружности
Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа \(\frac<π><6>\). Обозначим на числовой окружности точку со значением \(\frac<π><6>\).
Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс часто называют «ось косинусов», а ординат – «ось синусов».
Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?
Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:
Точка \(\frac<5π><2>\) совпадает с \(1\) на оси синусов, значит \(\sin\frac<5π><2>=1\). А если провести перпендикуляр из точки \(\frac<5π><2>\) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в \(0\). Поэтому \(\cos\frac<5π><2>=0\).
И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье « Как запомнить тригонометрический кру г »).
