как узнать линейно зависимы ли векторы

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

Свойства линейно зависимых векторов

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

Источник

Понятия и определения

По сути, под вектором в математике понимают отрезок с определённой длиной и направлением. Его принято изображать в виде прямой линии, ограниченной двумя точками. Одна из них является началом, а другая концом. Подписывается вектор с помощью двух больших латинских букв или одной маленькой. Числовое значение, соответствующее длине отрезка, является модулем вектора. Изображается модульность двумя вертикальными линиями слева и справа.

Когда начальная и конечная точка отрезка совпадают, вектор называется нулевым. Соответственно, его длина равняется нулю. Кроме этого, векторы, в зависимости от расположения, разделяют на следующие виды:

Чтобы два вектора можно было назвать коллинеарными, должно выполняться любое из следующих условий:

Ортогональность предполагает выполнение условия, при котором выполняется равенство a = и b = . При этом справедливо выражение a * b = ax * bx + ay * by = 0.

Над векторами можно выполнять арифметические действия. Их можно складывать, вычитать или перемножать. Произведение может быть скалярным, векторным или смешанным. Под первым понимается произведение модулей отрезков на косинус угла, ими образованного, под вторым — площадь параллелограмма, выстроенного на перемножаемых векторах, под третьим — умножение скалярного произведения на векторное.

Зависимость векторов и свойства

В линейной алгебре вводится такое понятие, как векторная система. Под ней понимают заданный набор вида a1, a2, …, an. Если в это множество вести свободные коэффициенты, а векторные элементы системы сложить между собой, то получится выражение, являющееся линейной комбинацией рассматриваемого пространства: Ya1 + Ya2 + … + Yan.

Когда все свободные члены системы одновременно равняются нулю, то комбинация называется тривиальной. Но если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то множество уже будет нетривиальным. Например, система 0 * a1 + 0 * a2 — тривиальная, a 12 * a1 + 0 * a2 — нетривиальная. Разобравшись в этих терминах, можно дать определение зависимости системы. Так, она может быть двух типов:

Определение зависимости важно в векторной алгебре. Опираясь на него, исследуют размерность и базис пространства. Пусть имеется упорядоченная совокупность действительных или комплексных чисел a1, a2, … ap. Линейная комбинация будет выглядеть следующим образом: u * a1 + u * a2 + … + u * ap. Используя правила сложения и произведения векторов, а также понятие n-мерного массива, справедливо утверждать, что рассматриваемая линейная совокупность будет равняться некому отрезку: u * a1 + u * a2 + … + u * ap = b.

При исследовании системы на зависимость необходимо выполнить её проверку на достаточность признаков. Для этого вначале следует убедиться в том, что число векторов не превышает величины координат (в ином случае делается вывод о линейности), затем проверить систему на содержание нулевых отрезков. Если их нет, то необходимо составить матрицу, строками которой будут уравнения системы. При ранге составленной матрицы меньше p — система линейно зависима.

Свойства зависимых и независимых линейных отрезков:

Операции над отрезками

При нахождении результата в векторной математике часто приходится выполнять различные действия, основанные на свойствах линейных операций над векторами. Самые элементарные из них — это сложение отрезков и умножение их на число.

Пусть имеются две ограниченные линии A и С. Перенеся первую из них к точке O, получится А = AO, а приложив к отрезку A вторую, — С = AC. Соединив две свободные точки, можно построить отрезок OC. Это и будет векторная сумма. Произведение же на число представляет операцию, соответствующую правилу: полученный отрезок, коллинеарный начальному, сонаправлен при n > 0 или противоположно направлен при n

Разложение по базису

Ограниченная линия является элементом пространства. Так как коллинеарные отрезки могут принадлежать одной прямой или иметь параллельность с другими линиями, то они могут быть как противоположно направленными, так и сонаправленными. Из любой выбранной точки в пространстве можно построить отрезок лишь одним способом.

Под базисом плоскости понимают неколлинеарные векторы (линейно независимые). Произвольная прямая, имеющая ограничения, представляет линейную комбинацию базисных отрезков. Когда имеются два определённых неколлинеарных вектора, любой другой, находящийся на рассматриваемой плоскости, возможно разложить по ним. То есть, как говорят в математике, разложить по базису.

Таким образом, существует теорема, которая гласит, что три вектора называются базисом в декартовой системе координат геометрических отрезков P, если любой из них можно выразить в виде выражения x = j * a + k * c + y * n, где j, k, c — координаты вектора икс в базисе векторов.

Базис записывают в виде (a; b). Упорядоченная пара из неколлинеарных прямых y1 и y2 считается базисом при компланарных векторах определённой плоскости. Любой ненулевой отрезок k будет образовывать базис B = (k) в рассматриваемом множестве геометрических отрезков, коллинеарных некому направлению.

Существует три теоремы:

Для доказательства этих теорем используют свойства некомпланарных отрезков и определение линейной комбинации, то есть такого набора, при котором линии пространства R являются скалярами: x = c1x1 + c2x2 + … + CxXn.

Решение примеров

На практических занятиях в школе учащимся для закрепления курса учитель предлагает решить несколько типовых заданий. Школьники, решая их, выходят на достаточный уровень понимания темы и видят практическое применение знаниям. Вот некоторые из таких заданий:

С их помощью можно быстро и безошибочно проверить набор базисов на линейную зависимость. При этом от пользователя никаких особых знаний не требуется. Необходимо лишь иметь устройство с доступом в интернет, на котором установлен веб-обозреватель. Все действия сводятся к заполнению предложенной формы данными из задачи и нажатием кнопки «Проверить».

Из бесплатных популярных сайтов можно отметить onlinemschool, mathforyou, matematikam. Эти сервисы имеют интуитивно понятный интерфейс и предоставляют свои услуги бесплатно.

Источник

Линейная зависимость и независимость, свойства, исследование системы векторов на линейную зависимость, примеры и решения.

Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

система векторов линейно зависима.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

система векторов линейно зависима.

Является ли система векторов линейно зависимой?

Является ли система векторов линейно независимой?

Докажите, что система векторов

линейно независима.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:

Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:

Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:

Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

Мы ознакомились с понятиями и свойствами линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, получили метод исследования системы векторов на линейную зависимость, преобразовали его в алгоритм, и подробно разобрали решения характерных примеров.

Источник

Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.

Допустим . Тогда

Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.

То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.

Определение линейной зависимости векторов

Пусть заданы m векторов строк порядка n:

Составим матрицу из этих векторов и добавим с правой стороны столбец, в котором запишем индексы соответствующих строк:

Сделав Гауссово исключение, приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:

Определение линейной зависимости векторов онлайн

Источник