как узнать находится ли точка в окружности
Как определить лежит ли точка на окружности
Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.
Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.
Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.
Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.
Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:
Задача
Даны координаты точки и радиус круга с центром в начале координат. Определить, принадлежит ли данная точка кругу.
Решение
Алгоритм решения задачи:
Следует рассмотреть прямоугольный треугольник, один катет которого лежит на любой оси, а другой является перпендикуляром к этой оси из заданной точки. В этом случае длины катетов равны значениям x и y, а гипотенуза является отрезком, соединяющим начало координат с точкой. Если этот отрезок не больше радиуса круга, то делается вывод, что точка принадлежит кругу.
Длина гипотенузы находится по теореме Пифагора.
Определить, принадлежит ли точка с координатами (x; y) кругу радиуса R с центром в начале координат.
Пользователь вводит координаты точки и радиус круга.
Если выбрать точку на координатной плоскости, то можно увидеть, что проекции ее координат на оси x и y являются катетами прямоугольного треугольника. А гипотенуза этого прямоугольного треугольника как раз показывает расстояние от начала координат до точки. Таким образом, если длина гипотенузы будет меньше радиуса круга, то точка будет принадлежать кругу; иначе она будет находится за его пределами.
Длину гипотенузы можно вычислить по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пример выполнения программы:
Обратите внимание, можно вводить отрицательные координаты. При возведении в квадрат все-равно будет получено положительное число.
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
Определить, находится ли точка в области
Есть ряд точек на плоскости и есть область (например круг). Нужно определить, какие точки входят в область.
Решение есть. Но оно подразумевает проверку каждой точки на вхождение в область. Натыкал я по рандому в редакторе 100000 точек. Нарисовал кружок. И вот я точно вижу, какие точки входят в область. Я даже не знаю про существование остальных, потому что область рисования огромна. А компьютер же будет перебирать все 100000 точек. А если их миллион? А миллиард? В итоге время вычисления прямо пропорционально количеству точек, тогда как человек с его тормознутостью даст ответ сразу. 🙂
Вот и подумалось мне, а как бы облегчить задачу программе? На ИИ я не претендую, но разобравшись в вопросе, можно топорно научить компьютер решать такую задачу. Нужно только понять, как это делает человек. На что обращает внимание. Какими величинами оперирует. Уж точно не координатами 🙂
Еще пример. Я выбираю точку и мне нужно найти ближайшую к ней. Не хочется перебирать все множество точек для этого.
Есть вариант разбить всю область на подобласти с заданной детализацией. Каждую область хранить в памяти как отдельный объект и добавляя точки в основную область, добавлять их так же в подобласти (квадрат А2). Далее вычислять, какие подобласти пересекаются с поверяемой областью и проверять на вхождение в проверяемую область уже не всех точек, а лишь тех, которые содержатся в подобластях. В этом случае скорость поиска будет быстрее лишь в тех случаях, когда количество точек значительно выше количества областей. Количество областей зависит от детализации. Детализация будет зависеть от конкретной задачи (было бы не очень хорошо, если бы размер подобласти приближался к размеру проверяемой области).
5 ответов 5
Несколько (не)очевидных моментов:
Т.о. для быстрого решения, сравнимого со зрением нужно:
Тогда задача приблизится по условиям к «естественному» зрению и станет заметно быстрее.
Если дельше приближаться к зрению, которое, в какой-то степени, нечёткое, для ч/б картинки задачу можно решить графически, не заморачиваясь распознаванием объектов. Допустим, белый фон и чёрные точки. Считаем, что примерно известны средняя площадь каждой черной точки и площадь окна. Размыть полностью картинку (Blur-Average в Photoshop). Получится оттенок серого. Из пропорции серый : черный = N_точек : (площадь фигуры : площадь точки) получаем примерное число точек.
Есть ряд точек на плоскости и есть область (например круг). Нужно определить, какие точки входят в область.
Человек не может считать быстрее. Может быть, нам кажется, например в следующей картинке, что можем очень быстро определить, что там 4 точки внутри круга.
Но представьте, что у нас полная стена точек, а не маленькая область:
Еще пример. Я выбираю точку и мне нужно найти ближайшую к ней. Не хочется перебирать все множество точек для этого.
Если речь идет об области в виде круга, то тут все просто, достаточно элементарной геометрии. Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R, как известно, выглядит так:
соответственно, чтобы точка находилась внутри этой окружности, необходимо, чтобы выполнялось такое условие:
Впрочем, для выпуклых многоугольников есть еще более эффективный способ. О нем можно почитать тут
Допустим есть область N, она может быть любой, Даже неправильным многоугольником, и есть набор точек An, естественно проверять все точки на вхождение в область это очень долгий процесс, за исключением если эта область не прямоугольник, стороны которого параллельны осям X и Y. Вот тут и находим оптимизацию алгоритма.
Возьмем область N’ равную минимальному прямоугольнику, в который мы можем заключить область N, и отсеиваем все точки, которые в эту область не входят. Таких, видимо, будет предостаточно.
Теперь оставшиеся точки проверим на вхождение в сложную область N. Естественно мы должны проверить все точки, но алгоритм для сложных областей существенно повысит скорость.
PS: для проверки вхождения в область N’ не обязательно сразу проверять сразу все 4 условия вхождения в прямоугольник, лучше это сделать по очередности, и каждую следующую проверку делать при условии выполнения предыдущей, это уменьшит количество проверок в алгоритме как минимум в двое.
PS2: Если область N настолько неправильная, что заполняет 10% или даже менее области N’, то лучше сделать дополнительный упор на поиск нескольких областей N» для области N для наилучшего заполнения.
PS3: Если размеры всего поля точек заранее (до ввода точек) известны, то во время распределение точек кидать их также в стек массивов секторов S[x,y], который представляет заранее известные прямоугольные области. И выкидывать из проверки области не пересекающиеся с N’ (или N» при мультиоблостях). Тогда мы даже не будем рассматривать большую часть точек. Чем более раздроблена S, тем менее проверок точек необходимо будет сделать. Остается определиться с количеством областей Sxy, это можно сделать только экспериментальными или статистическими методами.
PS4: Если размеры заранее не известны, можно циклически-абстрактно повторять области Sxy в разные стороны, заранее задав размеры всей области S.
Найти, если точка лежит внутри круга
По заданной окружности (координаты центра и радиуса) и точке (координате) определите, находится ли точка внутри или на окружности или нет.
Примеры :
Мы настоятельно рекомендуем вам свернуть браузер и попробовать это в первую очередь.
Идея состоит в том, чтобы вычислить расстояние точки от центра. Если расстояние меньше или равно радиусу. Дело в том, что внутри, а снаружи.
Ниже приведена реализация вышеуказанной идеи.
// C ++ программа для проверки, если точка
// лежит внутри круга или нет
#include
using namespace std;
bool isInside( int circle_x, int circle_y,
int rad, int x, int y)
// Сравнить радиус круга с расстоянием
// его центра от заданной точки
int circle_x = 0, circle_y = 1, rad = 2;
cout «Inside» : cout «Outside» ;
// Java-программа для проверки, лежит ли точка
// внутри круга или нет
static boolean isInside( int circle_x, int circle_y,
int rad, int x, int y)
// Сравнить радиус окружности с
// расстояние его центра от
// Программа драйвера для проверки вышеуказанной функции
public static void main(String arg[])
if (isInside(circle_x, circle_y, rad, x, y))
// Этот код предоставлен Anant Agarwal.
# Python3 программа для проверки
# точка лежит внутри круга
# или не
def isInside(circle_x, circle_y, rad, x, y):
# Сравнить радиус круга
# с расстоянием от его центра
if (isInside(circle_x, circle_y, rad, x, y)):
# Этот код добавлен
# Митс.
// C # программа для проверки, лежит ли точка
// внутри круга или нет
static bool isInside( int circle_x, int circle_y,
int rad, int x, int y)
// Сравнить радиус окружности с
// расстояние его центра от
// Программа драйвера для проверки вышеуказанной функции
public static void Main()
int circle_x = 0, circle_y = 1, rad = 2;
if (isInside(circle_x, circle_y, rad, x, y))
// Этот код предоставлен нитин митталь.
// PHP программа для проверки, если точка
// лежит внутри круга или нет
// Сравнить радиус круга
// с расстоянием от центра
// Этот код добавлен
// нитин митталь.
?>
Выход :
Спасибо Уткаршу Триведи за предложенное решение
Пожалуйста, пишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой выше теме.