как узнать наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Источник

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции

Общая информация

Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.

Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:

Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.

Область определения

Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).

Обозначение интервалов

Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:

Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.

Зависимость от типа

Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:

Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.

Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.

Метод нахождения

Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:

В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.

Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.

Сведения о производных

Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.

Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.

Таблица дифференциалов

В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.

Данные значения были получены практическим методом — нахождением отношения приращения функции к приращению аргумента. Необходимо учитывать, что последний стремится к нулевому значению.

Однако иногда приходится упрощать выражение, а потом находить его производную. Для этого существует специальный простой алгоритм:

Данный алгоритм справедлив только для простых выражений. Для сложных функций нужно руководствоваться некоторыми свойствами.

Основные свойства

Когда выражение не совпадает с табличным значением или состоит из нескольких элементов, то нужно применять специальные правила. Ими являются следствия из доказательств различных теорем. К ним можно отнести следующие:

Очень важно уметь разбивать выражение на части, поскольку от этого зависит результат решения. В некоторых случаях выражение можно упростить.

Наибольшее и наименьшее значения

Задачи на нахождения максимума и минимума применяются не только в математике, но и в бизнесе, науке, производстве и т. д. Например, вычисление наименьшего значения функции на отрезке (за последний промежуток времени) позволяет узнать минимизацию издержек производства. Кроме того, можно определить максимальную прибыль, найти оптимальную загрузку техники и т. д. Данные значения следует искать на каких-либо интервалах. Они классифицируются следующим образом:

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение производной по графику функции можно также найти, однако расчетный метод намного проще.

Универсальный алгоритм

Для данной операции, как и для других математических действий, существуют определенные правила или последовательность действий, которые называются алгоритмом. Специалисты для решения различных задач в любых сферах рекомендуют использовать их. Они позволяют не только существенно экономить время, минимизируя количество вычислений, но и с их помощью можно избежать некоторых ошибок. Суть алгоритма очень проста. Он состоит из определенной последовательности таких шагов:

Выполнение шестого шага зависит от вида интервала. В некоторых случаях можно просто подставить значение, а в других — найти предел. Если указана скобка «[» или «]», то x равен значению возле этой скобки. Когда указаны круглые скобки, нужно брать предел x = lim (f(x)), где x стремится к числовому значению или бесконечности, которые находятся возле скобки (x->a). Например, (a;+inf): х = lim [f(x)], где x->a и x->+inf.

Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.

Примеры решений

Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:

Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:

Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.

Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.

Источник

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Решение:

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Графические примеры наибольших и наименьших значений функций на отрезках и интервалах.

Эта парабола на области определения имеет только наименьшее значение. Наибольшего значения нет, так как её ветви уходят в бесконечность.

На отрезке [a;b] есть и наибольшее, и наименьшее значения. В этом примере наименьшее значение достигается во внутренней точке отрезка и совпадает с экстремумом (минимумом) функции, наибольшее — на одном из концов отрезка. В данном случае это y = f(b).

Функция рассматривается на интервале (a;b). В этом случае краевые точки a и b не входят в область определения функции на оси Ox, и, соответственно, не определены значения функции f(a) и f(b) на оси Oy. Однако, можно вычислить сколь угодно близкие к ним значения. Поэтому в этом примере функция имеет наименьшее значение, но не достигает наибольшего, его нет.

На этом полуинтервале (a;b] есть наибольшее значение приведенной функции, но наименьшего нет.

Кубическая парабола на области определения имеет два экстремума, но наименьшего и наибольшего значений не достигает: её ветви уходят в бесконечность. E(f) = (−∞; +∞) — область значений кубической параболы.

Здесь на отрезке [a;b] наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.

Если вместо отрезка [a;b] рассматриваем интервал (a;b) с теми же концами, то наименьшего значения нет.

Непрерывная функция, заданная на отрезке, всегда имеет наибольшее и наименьшее значения. Но, если функция имеет разрывы, то могут быть различные варианты, как для интервалов, так и для отрезков. Посмотрите на этот график разрывной функции, заданной на отрезке [−2;3]. Здесь функция не имеет наибольшего значения: перед точкой разрыва она возрастает и достигает значений больших, чем в других частях отрезка, но наибольшего не достигает, так как в предполагаемой точке максимума x = 2 она определена другим значением, не у = 2, а y = −1.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Источник