как узнать одну сторону прямоугольного треугольника зная 2 стороны

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Формулы длины стороны (основания), (b ):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Источник

Произвольный треугольник

Фигура с тремя углами является самым простым замкнутым объектом в геометрии. В общеобразовательных школах ее изучению уделяют наибольшее время, поскольку многие основные геометрические свойства заложены именно в ней. Построить ее несложно, для этого необходимо взять три точки на плоскости так, чтобы они не располагались на одной прямой. После этого следует попарно соединить их прямыми отрезками.

Треугольник произвольного типа состоит из следующих элементов:

Помимо основных элементов, для этой фигуры существует множество дополнительных отрезков, которые имеют специальное название, например, медианы, биссектрисы, высоты.

Для рассматриваемой фигуры всегда справедливы три важных математических соотношения между ее длинами сторон и углами. Эти соотношения часто используют для решения разнообразных задач. К ним относятся следующие:

Прямоугольная фигура

С незапамятных времен человечество интересовалось свойствами геометрических объектов. Одним из них был прямоугольный треугольник, который еще в Древнем Египте считался священным, поскольку обладал характерными для него особенностями (речь идет о фигуре, соотношение сторон которой находится в отношении 3:4:5). Большие достижения в области изучения геометрических свойств рассматриваемой фигуры имели философы античной Греции, среди которых выделяется имя Пифагора.

Составляющие элементы и теорема Пифагора

Поскольку речь идет о треугольнике, то для него также характерно наличие трех сторон и трех внутренних углов. Однако, в отличие от остальных фигур данного вида, прямоугольный треугольник имеет один угол равный 90 °. Остальные два угла всегда являются острыми, что следует из фиксированной суммы их значений (180 °).

Чтобы узнать, как называются стороны прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его рисунок.

Стороны a и b образуют прямой угол. Они называются катетами. Сторона c, которая лежит против угла 90 °, ограничена двумя острыми углами. Она носит название гипотенузы. Эти названия стоит запомнить, поскольку на них основаны все свойства и теоремы для этого типа треугольника.

Существует два вида рассматриваемой фигуры:

В случае разностороннего прямоугольного треугольника стороны равны произвольным отрезкам, которые, однако, связывает теорема Пифагора. Катеты в этой фигуре отличаются друг от друга.

Касательно равнобедренного прямоугольного геометрического объекта можно сказать, что его катеты друг другу равны, но они никогда не равны гипотенузе. Острые углы в таком треугольнике составляют по 45 °, что легко доказать, применяя теорему синусов, и учитывая, что сумма трех углов соответствует 180 °.

Теорема косинусов для рассматриваемого треугольника произвольной формы вырождается в простое равенство:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC ==>

Оно получается потому, что косинус прямого угла равен нулю согласно свойству этой тригонометрической функции. Формулировка «квадрат гипотенузы в точности соответствует сумме квадратов катетов данного треугольника» носит название известной теоремы Пифагора. Чтобы ее доказать, не прибегая к теореме косинусов, следует провести некоторые геометрические построения.

Основные свойства

Несмотря на общие свойства, которыми обладает прямоугольный треугольник, и которые характерны для любой фигуры с тремя вершинами и тремя сторонами, для него существуют также присущие только ему особенности. Основными из них являются следующие:

Кроме названных свойств, следует отметить, что рассматриваемый геометрический объект является источником определения тригонометрических выражений (синуса, косинуса, котангенса и тангенса). Так, синусом угла ∠ A будет отношения противолежащего ему катета a к гипотенузе c, то есть sinA = a/c. Косинусом этого угла будет отношения ближайшего или прилежащего к нему катета к стороне c: cosA = b/c. Составлены целые таблицы этих функций, которые активно используются при решении геометрических проблем.

Способы нахождения длины стороны

Рассматриваемая фигура обладает достаточно большим количеством геометрических свойств, которые имеют математическое выражение в виде формул. Также для нее применимы особенности тригонометрических функций и общие формулы для треугольников общего типа. Весь этот набор равенств можно использовать для нахождения любой неизвестной стороны прямоугольной фигуры. Чаще всего встречаются задачи следующего типа:

Если внимательно прочитать условие задачи, то можно увидеть, что сама высота является одним из катетов, поскольку опущена она на основание не из прямого, а из острого угла. Пусть катет a = 8 см. Сторона b вычисляется по формуле для площади:

b = 2*S/a = 2*60/8 = 15 см.

Определить гипотенузу легко по формуле Пифагора:

c = (a 2 + b 2 )^0,5 = (8 2 + 15 2 )^0,5 = 17 см.

Прямоугольный треугольник обладает набором свойств, которые позволяют применить к нему знания тригонометрии, чтобы вычислить длину неизвестного катета или гипотенузы. При этом часто используемой формулой для решения геометрических задач является теорема Пифагора.

Источник

Калькулятор прямоугольного треугольника

Корзина

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите известные параметры прямоугольного треугольника:
а) 2 катета,
б) катет и гипотенуза,
в) катет и противолежащий острый угол,
г) гипотенуза и острый угол.
Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».

При помощи калькулятора прямоугольного треугольника можно найти гипотенузу онлайн, а также катеты, величины острых и противолежащих углов прямоугольного треугольника.

В форме калькулятора гипотенузы указываются два параметра прямоугольного треугольника онлайн: две стороны или острый угол и сторона.

Для углов имеются два поля: для градусов и для минут.

Далее заполнить поле «Текст с картинки» и нажать «Решить». Компьютерная программа автоматически сделает расчет.

Приводятся ответы с подробными решениями, включая формулы. Для решения задач используется теорема Пифагора. Катеты и гипотенуза вычисляются через синус.

Примеры решения калькулятора прямоугольного треугольника:
1) как найти неизвестный катет или катеты, если известна гипотенуза, равная 2 см, и острый угол 20°. В поле для гипотенузы «c» указывается 2, в поле «Угол (градусов, °)» ставится 20, в поле «Угол (минут, ‘)» указывается 0. Ответ онлайн калькулятора прямоугольного треугольника: длина катетов a = 0,68 см; b = 1,88 см, острый угол B = 70°.

2) пример вычисления неизвестных сторон и острых углов прямоугольного треугольника по двум катетам или по гипотенузе и катету. Вопрос: как найти угол прямоугольного треугольника, зная его стороны, т.е. зная 2 катета или 2 стороны. Известна длина катетов a=11, b=60.

В полях для катетов «a» указывается 11, в поле «b» 60. Нажать «Решить». В ходе решения находим третью сторону – гипотенузу – и находим угол в прямоугольном треугольнике, уже зная все стороны.

Ответ калькулятора гипотенузы: гипотенуза c=61, значения углов A= 10°23′, B = 79°37′. Если даны катет и гипотенуза, то заполняются поля для катета «a» и для гипотенузы «c».

3) с помощью этого онлайн-калькулятора можно решить задачу, где требуется найти катет онлайн, или как найти гипотенузу, зная катет и угол. Например, a=3, противолежащий угол = 30°27′. В поле для катетов «a» указывается 3, в поле «Угол (градусов, °)» ставится 30, в поле «Угол (минут, ‘)» указывается 27. Ответ калькулятора углов прямоугольного треугольника: гипотенуза c = 5,92; катет b = 5,10; угол 59°33’.

Калькулятор сторон прямоугольного треугольника может найти гипотенузу по катету и углу. Онлайн калькулятор гипотенузы находит катет по гипотенузе и углу.

Если стоит задача, как найти катет, если известна гипотенуза и угол, то можно использовать решение прямоугольного треугольника на этой странице. Гипотенузу прямоугольного треугольника, его угол быстро вычисляет компьютерная программа. Калькулятор теоремы Пифагора может найти катет по углу и катету.

Здесь предлагаются ответы на тесты, если требуется вычислить угол по двум катетам. Расчет гипотенузы выполняется онлайн.

Вычисление гипотенузы и углов прямоугольного треугольника при помощи калькулятора катетов дает ответы на следующие тестовые задания по теме «катет и гипотенуза«:
— как найти угол прямоугольного треугольника, зная его стороны,
— узнать гипотенузу, катет прямоугольного треугольника,
— определить гипотенузу по двум катетам,
— рассчитать третью сторону прямоугольного треугольника,
— вычислить катет, если известна гипотенуза и угол,
— найти решение прямоугольного треугольника,
— определить длину гипотенузы, зная 2 катета,
— посчитать угол в прямоугольном треугольнике,
— узнать гипотенузу по катетам,
— рассчитать величину угла в градусах и минутах по катетам,
— найти длину катета по катету и углу,
— вычислить угол или углы прямоугольного треугольника онлайн,
— решить прямоугольный треугольник,
— подсчитать угол по катетам,
— найти сторону прямоугольного треугольника,
— рассчитать прямоугольный треугольник онлайн.

Источник

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

, .

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

.

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

, .

, .

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Источник