как узнать основание равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция
Свойства
В равнобокой трапеции боковые стороны и углы при основаниях равны между собой, следовательно, все формулы значительно упрощаются. Периметр такой трапеции равен сумме двух оснований и удвоенной боковой стороны. P=2a+b+d
Высота равнобокой трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – боковая сторона трапеции, а второй катет – половина разности большего и меньшего оснований. Вычислить высоту в равнобокой трапеции можно с помощью теоремы Пифагора в этом треугольнике. (рис.104.1) h=√(a^2-(c-b)^2/4)
Средняя линия трапеции не связана с боковыми сторонами и представляет собой сумму большего и меньшего основании, разделенную на два. m=(b+c)/2
Площадь равнобокой трапеции вычисляется также как и обычной – произведением высоты на среднюю линию. S=hm
Найти диагонали в равнобокой трапеции проще, так как высоты, входящие с ними в прямоугольные треугольники, делят большее основание на три части, одна из которых равна меньшему основанию, а две другие равны между собой. Сами диагонали также равны друг другу и вычислить их можно по формулам, приведенным из теоремы Пифагора. (рис.104.2) d=√(h^2+((b+c)/2)^2 )=√(a^2-(c-b)^2/4+(b+c)^2/4)=√((2a^2-b^2-c^2)/2)
Внутри равнобокой окружности можно вписать окружность, радиус которой будет равен квадратному корню из произведения оснований, деленному на два, если сумма боковых сторон равна сумме оснований (что представляет собой половину высоты) (рис.104.3) r=√bc/2
Радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции, ищется как радиус описанной окружности треугольника, образованного ее диагональю со сторонами. (рис.104.4) R=abd/√((a+b+d)(a+b)(a+d)(b+d))
Все формулы сторон равнобедренной трапеции
1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию
Формулы длины основания :
2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании
Формулы всех четырех сторон трапеции :
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Формулы длины сторон трапеции:
справедливо для данной ситуации:
4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь
c — равные боковые стороны
Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь :
Равнобедренная трапеция — свойства, признаки и формулы
Равнобедренная трапеция, её ещё называют равнобокой, имеет равные боковые стороны. Кроме этого, у нее в арсенале есть еще множество интересных и полезных свойств, которые можно с легкостью применять на практике или при решении математических задач.
Определение, признаки и элементы трапеции
Трапецией в геометрии принято называть любой четырехугольник, у которого есть две параллельные друг другу стороны, при том что продолжения других двух сторон пересекаются.
Определение же равнобедренной трапеции идет от того, что у нее боковые стороны эквиваленты по длине.
Свойства равнобедренной трапеции
Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:
Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ — разности, разделенной на 2:
Периметр равнобедренной трапеции
Эту величину найти очень просто. Простейшей формулой будет сложение всех ее сторон. Однако иногда составители задач не дают нам информацию обо всех из сторон.
В таком случае нам следует в первую очередь найти все стороны фигуры, а затем уже приступать к их сложению.
Как найти стороны трапеции?
Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.
В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:
Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:
Средняя линия
Средней линией в трапеции называется параллельный основаниям отрезок, который делит боковые стороны фигуры на равные части.
У нее есть множество интересных свойств и теорем с нетрудным доказательством, таких как, например, решение задач на подобие, однако мы на них останавливаться не будем.
Высота трапеции
Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.
Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.
Диагональ трапеции
Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.
А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:
Площадь равнобедренной трапеции
Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.
Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.
Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.
Вписанная и описанные окружности
Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны.
Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.
А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.
Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:
Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами.
Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Признаки равнобедренной трапеции
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
Основные свойства равнобедренной трапеции
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
| с = | S |
| m sin α |
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
| с = | 2S |
| ( a + b ) sin α |
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
| m = | S |
| c sin α |
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
Диагонали равнобедренной трапеции
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
| d 1 = | 1 | √ 4 h 2 + ( a + b ) 2 |
| 2 |
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
2. Формула площади через стороны и угол:
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
| S = | ab | = | ab |
| sin α | sin β |
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 2 | · sin γ | = | d 1 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон
Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция (понятие, определение):
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.
Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Виды трапеций:
Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.
AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.
AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.
Рис. 5. Трапеция и срединная линия
Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.
Высота трапеции (h) определяется формулой:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
Свойства трапеции:
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Рис. 7. Трапеция и срединная линия
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
Рис. 10. Трапеция
6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.
Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.
Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.
9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.
BC : AD = OC : AO = OB : DO
10. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции
12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.
2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.
3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.
4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.
5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.
6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.
Формулы трапеции:
Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d1 и d2 – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.
Формулы для определения сторон трапеции:
Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
a = b + h · (ctg α + ctg β)
b = a – h · (ctg α + ctg β)
Через боковые стороны и углы при нижнем основании:
a = b + c· cos α + d· cos β
b = a – c· cos α – d· cos β
Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:
Формулы для определения средней линии трапеции:
Через длины оснований трапеции:
Через площадь и высоту трапеции:
Формулы для определения высоты трапеции:
Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:
h = c· sin α = d· sin β
Через диагонали трапеции и углы между ними:
Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:
Через площадь и длины оснований трапеции:
Через площадь и длину средней линии трапеции:
Формула для определения периметра трапеции:
Формулы для определения площади трапеции:
Через основания и высоту трапеции:
Через среднюю линию и высоту трапеции:
Через диагонали трапеции и угол между ними:
Через все стороны трапеции:
С помощью формулы Герона для трапеции:
Как называется объемная трапеция?
Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.
В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Справочники
Мировая экономика
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.