как узнать площадь поверхности параллелепипеда
Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольного параллелепипеда.
Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.
Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Введите значения длин сторон прямоугольного параллелепипеда
a = |
b = |
h = |
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади прямоугольного параллелепипеда
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в однаквых единицах измерения!
Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади прямоугольного параллелепипеда
Теория. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Формула для вычисления площади прямоугольного параллелепипеда
S = 2( a · b + a · h + b · h )
Площадь поверхности параллелепипеда
Что такое площадь поверхности параллелепипеда
Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.
Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула нахождения полной площади
В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:
\(S=2\cdot(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)\)
где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: \(S_<пар>=S_
Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:
Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:
У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA1. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.
Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:
\(S_<пар>=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)\)
Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.
Для этого есть три взаимосвязанные формулы:
Примеры решения задач
Задача
Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Дано: AB = 3, A1B = 6, AD = 5.
Решение
Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA1. Так как длина диагонали A1B известна, сделать это нетрудно.
Воспользуемся теоремой Пифагора:
Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:
\(S=2\cdot(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)\)
\(S=2\cdot(AB\cdot AD+AB\cdot AA_1+AD\cdot AA_1)=2\cdot(3\cdot5+3\cdot5+5\cdot5)=2\cdot(15+15+25)=2\cdot55=110\)
Задача 2
Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Решение
Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:
Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:
\(S_<пов>-S_<бок>=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c=2\cdot a\cdot b\)
Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:
Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.
Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.
Общие понятия
Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).
Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.
Нахождение площадей фигур
Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.
Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.
1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.
2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.
3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.
Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:
Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:
Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.
Площадь поверхности параллелепипеда
Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.
Площадь поверхности куба
Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.
На примере это выглядит следующим образом:
Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?
При данных условиях имеем:
S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:
S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.
Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.
Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?
Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.
Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.
Поверхность параллелепипеда
Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:
Снова приведём пример:
В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.
Заключение
Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.
Видео
Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.
Как вычислить площадь параллелепипеда
Формула нахождения полной площади параллелепипеда
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.
Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.
Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:
, где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.
При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.
Площадь поверхности куба
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.
Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.
Пример решения задачи
Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.
Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Площадь параллелепипеда
Найти площадь параллелепипеда, зная ребра
Формула нахождения полной площади параллелепипеда
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.
Общие понятия
Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).
Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.
Площадь поверхности куба
Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.
На примере это выглядит следующим образом:
Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?
При данных условиях имеем:
S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Нахождение площадей фигур
Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.
Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.
1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.
2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.
3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.
Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:
Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:
Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.
Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.
Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.
Найти площадь поверхности параллелепипеда
Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.
Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:
S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)
Дано:
Решение:
По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2
Ответ:
Дано:
Решение:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6)
Ответ:
Дано:
Решение:
По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2
Ответ:
Дано:
Решение:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2
Ответ:
Дано:
Решение:
По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:
S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)
S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2
Ответ S = 64 см^2
Пример решения задачи
Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.
Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
Формула получена следующим образом:
Заключение
Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.