как узнать площадь пятиугольника с разными сторонами
Площадь многоугольника
Расчет площади многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники
Пример многоугольника
Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.
Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.
А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.
Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).
По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».
Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения
Содержание:
В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.
Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.
Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.
Как найти площадь правильного пятиугольника?
Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).
В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.
Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина LК.
Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой LК это:
Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:
Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:
Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
Выражая длину апофемы LК как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:
Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:
загар (π / 5) = (a / 2) ÷ LК
LК= (а / 2) ÷ загар (π / 5)
Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:
Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
cos 36º = cos (π / 5) = LК ÷ R
sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R
А = P x LК / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R 2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]
Используя формулу двойного угла:
грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ
[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º
Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:
Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
Триангуляция
Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.
Гауссовские детерминанты
Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:
Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.
Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.
Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:
Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Решение
Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:
Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.
A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см 2
Упражнение 2.
Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:
Решение
EA 2 + EC 2 = AB 2 + BC 2
Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:
Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.
Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.
Площадь треугольника EDC
ED x DC / 2 = 8,485 2 / 2 = 36
Площадь треугольника AEC
EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30
Площадь треугольника ABC
Тогда искомая область:
Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.
Площадь неправильного пятиугольника
Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:
А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.
Ссылки
Пограничное расстройство личности: симптомы и причины
Какой была социальная организация тольтеков?
Калькулятор площади пятиугольника
Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».
Геометрия пятиугольника
Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.
Пятиугольник в реальности
Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.
Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.
Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.
Площадь пентагона
Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:
S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),
где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.
Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:
где a — длина одной стороны.
Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:
Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:
Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.
Примеры из жизни
Пентагон
Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:
Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.
Школьная задача
К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:
Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.
Заключение
Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.
Как найти площадь пятиугольника?
Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле: S = n/4 × a2 × ctg(pi/n), где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.
Как найти площадь пятиугольника 4 класс?
В этом случае для вычисления площади пятиугольника используйте следующую формулу: A = (5/2)r2sin72˚, где r — радиус описанной окружности.
Как найти площадь неправильного пятиугольника?
Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить.
Как посчитать площадь многоугольника по сторонам?
Формула для нахождения площади правильного многоугольника: Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
Как найти площадь произвольного пятиугольника?
Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле: S = n/4 × a2 × ctg(pi/n), где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны. где a — длина одной стороны.
Как найти площадь шестиугольника 4 класс?
Площадь правильного шестиугольника равна площади равностороннего треугольника умноженной на шесть.
Как вычислить площадь неправильного многоугольника зная периметр?
Периметр такого многоугольника равен произведению длины стороны a на общее их количество n. Формула площади правильного многоугольника, зная стороны, представляет собой произведение количества и квадрата длины, деленное на четыре тангенса угла, полученного делением 180 градусов на то же количество.
Как найти площадь сложной фигуры?
Площадь сложных фигур
Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле. Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
Как найти площадь неправильного треугольника?
Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности. S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.
Как найти площадь описанной фигуры?
S = (a * b * с) : 4 * R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
Чему равна площадь многоугольника вписанного в окружность?
То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника.
Что такое описанный многоугольник?
Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности. Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины.
Как найти площадь 10 угольника?
Площадь любого правильного многоугольника вычисляется по формуле: S = (a * p)/2, где «a» — апофема, «p» — периметр. Подставьте значения «а» и «р» в формулу, чтобы вычислить площадь. Для примера рассмотрим шестиугольник (n = 6), сторона которого равна 10 см (s = 10).
Как найти площадь шестиугольника?
Как найти площадь шестиугольника при известной длине стороны Запишите формулу. Так как правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, то формула образована из формулы нахождения площади равностороннего треугольника: Площадь = (3√3 s2)/ 2 где s — длина стороны правильного шестиугольника.
Как посчитать площадь пятиугольника с разными сторонами?
S = n/4 × a2 × ctg(pi/n), где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.
Как найти площадь многоугольника с разными сторонами?
Формула для нахождения площади правильного многоугольника: Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
Как найти площадь неправильного многоугольника?
Периметр такого многоугольника равен произведению длины стороны a на общее их количество n. Формула площади правильного многоугольника, зная стороны, представляет собой произведение количества и квадрата длины, деленное на четыре тангенса угла, полученного делением 180 градусов на то же количество.
Как измерять площадь многоугольника?
Как найти площадь неправильной формы?
Как рассчитать площадь комнаты с разными сторонами?
S=√p (p-a)(p-b)(p-c); При этом а, в, с обозначают стороны треугольника, а р – полупериметр. Чтобы его узнать все стороны следует суммировать, а затем поделить на 2. Чтобы вычислить площадь данной фигуры можно умножить длину основания на высоту, проведенную из этого основания, а затем результат поделить на 2.
Как найти площадь фигуры?
Узнать площадь фигуры помогут следующие формулы:
Как найти площадь по периметру?
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. S = · b, где S — площадь, — длина, b — ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. P = ( + b) · 2, где P — периметр, — длина, b — ширина прямоугольника.
Как найти периметр неправильного многоугольника?
Сложите значения всех сторон, чтобы найти периметр неправильного многоугольника. Просто сложите все значения, которые вы записали, и получите периметр многоугольника. В нашем примере с прямоугольником: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 см — это периметр многоугольника.
Как найти площадь неправильного треугольника?
Посчитать площадь треугольника можно разными способами.
…
Зная две стороны и угол между ними
Как найти площадь территории?
Вычислить площадь земельного участка прямоугольной формы поможет известная со школьных лет формула: S=AB, где A и B – длина и ширина прямоугольника. К примеру, ширина у вас 20 метров, а длина – 30. Производим вычисления и получаем площадь земли – 600 квадратных метров.
Как правильно посчитать площадь?
В помещении, которое представляет собой прямоугольник или квадрат, нужно измерить длину и ширину и умножить значения между собой. Вы получите площадь комнаты в квадратных метрах. Формула по которой можно высчитать площадь: S комнаты = А х B, где A – длина, B – ширина.
Как найти площадь шестиугольника 4 класс?
Площадь правильного шестиугольника равна площади равностороннего треугольника умноженной на шесть.
Как вычислить площадь фигуры 3 класс?
Найдём площадь геометрической фигуры.
Как вычислить площадь фигуры 4 класс?
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.
Как найти площадь фигуры с помощью палетки?
Палетку используют для измерения площади фигур, ограниченных кривой линией.
…
Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно: