Форум программистов > Microsoft Office и VBA программирование > Microsoft Office Excel
Определение «находиться ли точка на прямой?»
Регистрация
Задача: Определить находиться ли точка на прямой.
Кто нибудь знает решение?
Начало прямой: x0, y0 Конец прямой: x1, y1 Точка: x, y
Если y = y1, то точка лежит на прямой
Уравнение прямой на плоскости имеет вид: ,
где — координаты начала и конца Нужно в это уравнение вместо x и y подставить координаты точки. Если равенство сохранится, значит, точка принадлежит прямой.
где — координаты точки, то точка принадлежит прямой.
Уравнение прямой на плоскости имеет вид: ,
где — координаты начала и конца Нужно в это уравнение вместо x и y подставить координаты точки. Если равенство сохранится, значит, точка принадлежит прямой.
где — координаты точки, то точка принадлежит прямой.
Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2
Вступление
Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.
Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.
Задача №1
Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
Решение Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.
Задача №2
Определить принадлежит ли точка лучу.
Решение Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий: 1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой) 2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)
Задача №3
Определить принадлежит ли точка отрезку.
Решение Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий: 1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой) 2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)
Задача №4
Взаимное расположение двух точек относительно прямой.
Решение В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.
Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно. Итак: 1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону. 3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.
Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.
Задача №5
Определить пересекаются ли две прямые.
Решение Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые. Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0. Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.
В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.
Задача №6
Определить пересекаются ли два отрезка.
Решение Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:
Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).
Задача №8
Расстояние от точки до луча.
Решение Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.
В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.
Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Заключение
Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Принадлежит ли точка прямой Добрый вечер, помогите с задачей, пожалуйста! Определить принадлежит ли данная точка прямой.
Принадлежит ли точка прямой Добрый день, подскажите с задачей!Очень нужно! Определить принадлежит ли данная точка прямой.
Определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой y=kx+b Помогите пожалуйста сделать домашнее задание по информатике Дана задача: определить принадлежит.
Принадлежит ли точка М(2,a) прямой y=x? Принадлежит ли точка М(2,a) прямой y=x Данные для ввода : 1) a=2 ;2) a=0
Решение
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Проверить, принадлежит ли точка с координатами (х, у) к заданной области Составить программу на языке Паскаль для проверки, принадлежит ли точка с координатами (х, у) к.
Проверить, принадлежит ли точка M(x,y) треугольнику с заданными вершинами помогите плиз две задачки решить: Проверить, принадлежит ли точка M(x,y) треугольнику с.
Как проверить, принадлежит ли точка треугольнику Пожалуйста, помогите найти ошибку: Sub xy() Dim x1, y1, x2, y2, x3, y3 As Single x1 =.
Как проверить принадлежит ли точка треугольнику? Как проверить принадлежит ли двумерная точка треугольнику с двумерными координатами?
Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости.
Как определить принадлежит ли точка графику функции?
График функции проходит через точку, если координаты этой точки обращают формулу функции в верное числовое равенство. Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли графику функции точка, надо подставить координаты точки в формулу функции. Если получится верное числовое равенство, точка лежит на графике.
Что значит точка принадлежит прямой?
Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. … Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 21б). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.
Как определить лежит ли точка внутри ромба?
В общем, суммируете углы AXB, BXC, CXD, DXA. Если сумма равна ±360°, то точка внутри многоугольника. Если сумма равна ±180°, то точка на ребре.
Как определить принадлежность точки к отрезку?
Точка принадлежит отрезку, если сумма расстояний от этой точки до конечных точек отрезка равна длине отрезка.
Как узнать через какую точку проходит график функции?
Ответ, проверенный экспертом
Как узнать что график функции проходит через точку?
Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через точку нужно:
Как правильно построить график функции?
Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью.
Что такое точка и прямая?
Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца. Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна. … Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.
Определение «находиться ли точка на прямой?»
Принадлежит ли точка прямой