как узнать радиус вписанной окружности в треугольник
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Радиус вписанной в треугольник окружности
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.
Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.
Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр
и формулу можно записать так:
Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:
или (без иррациональности в знаменателе):
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности
рассчитать и выразить через периметр, площадь,
высоту, основание, стороны, диаметр. Формулы
радиуса окружности вписанной в треугольник.
Центр вписанной в треугольник окружности — это одна
из замечательных точек треугольника, она расположена
в точке пересечения биссектрис треугольника, её
иногда называют инцентром.
Центр вписанной окружности правильного треугольника — это
точка, где пересекаются высоты, медианы и биссектрисы.
В любой треугольник можно вписать только одну
окружность, которая находится внутри треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от всех
сторон треугольника. Точка, где окружность пересекается
со стороной треугольника, называется точкой касания.
Все отрезки, которые проведены от точки касания к центру
вписанной окружности имеют одинаковую длину.
Чтобы найти радиус окружности вписанной в треугольник
надо площадь разделить на полупериметр.
Диаметр вписанной окружности в треугольник численно
равен двум радиусам вписанной окружности. Радиус
вписанной окружности можно найти по разным
формулам, все зависит от того, какой треугольник.
Всего различают четыре вида треугольников:
Радиус вписанной окружности в любой треугольник
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник
D — диаметр вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
D — диаметр вписанной окружности;
Вписанная окружность в треугольник — это окружность,
которая вписана в треугольник и касается всех его сторон.
Радиус вписанной окружности в треугольник — это отрезок,
проведенный от центра вписанной окружности до любой стороны.
Длина радиуса вписанной окружности, диаметра
вписанной окружности а также других величин
измеряется в мм, см, м, км и так далее.
В любом треугольнике все радиусы и диаметры
равны, имеют одинаковую длину.
Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения: