как узнать размеры равностороннего треугольника
Стороны равностороннего треугольника
Свойства
В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. Стороны меняют свое значение в зависимости от размеров треугольника, а углы всегда равны 60 градусам. Зная сторону равностороннего треугольника можно вычислить все остальные его параметры по упрощенным формулам. Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, а площадь – квадрату стороны, умноженному на отношения корня из трех к четырем. (рис. 97.1) P=3a S=(√3 a^2)/4
Все высоты в равностороннем треугольнике совпадают с медианами и биссектрисами, и все между собой равны. Это значительно упрощает расчеты, так как объединяет их все в одну формулу. Ее проще всего рассчитывать как высоту, так как она является катетом в прямоугольном треугольнике с заданными углами. (рис. 97.2) h=m=l=(√3 a)/2
Поскольку все стороны такого треугольника равны между собой, соответственно, их средние линии также равны и представляют собой половину стороны a. (рис.97.3) M=a/2
Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник совпадает с центром описанной окружности, так как все высоты являются одновременно медианами, биссектрисами и медиатриссами и пересекаются в одной точке. Отрезок, соединяющий центр со стороной перпендикуляром, является радиусом вписанной окружности, а отрезок, соединяющий центр с вершиной угла – радиусом описанной окружности. Оба они зависят только от стороны треугольника и выражаются следующими формулами. (рис.97.4,97.5) R=a/√3 r=a/(2√3)
Как найти площадь равностороннего треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равностороннего треугольника (S).
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная длину равных сторон
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна длина сторон (a)?
Формула
Пример
Если сторона a = 2 см, то:
S = √3 /4 ⋅ 2² = 1.732 /4 ⋅ 4 ≈ 1.732 см 2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его высоту
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна его высота (h)?
Формула
Пример
Если высота h = 3 см, то:
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус описанной окружности
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус описанной окружности (R)?
Формула
Пример
Если радиус описанной окружности R = 4 см, то:
S = 3 ⋅ √3 /4 ⋅ 4² = 3 ⋅ 1.732 /4 ⋅ 16 = 1.299 ⋅ 16 ≈ 20.784 см 2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус вписанной окружности
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус вписанной окружности (r)?
Формула
Пример
Если радиус вписанной окружности r = 1 см, то:
S = 3⋅ √ 3 ⋅ 1² = 3 ⋅ 1.732 ⋅ 1 ≈ 5.196 см 2
Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его периметр
Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен его периметр (P)?
Формула
Пример
Если периметр P = 8 см, то:
S = √3 /36 ⋅ 8² = 1.732 /36 ⋅ 64 ≈ 3 см 2
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.