как узнать сколько решений имеет система уравнений

Разбираемся в линейных уравнениях раз и навсегда

Одной из наиболее важных тем курса алгебры является решение систем линейных уравнений. Давайте узнаем, как научиться с ними расправляться разными методами.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе, но системы такого уровня рассматриваются в старшей школе. В данной статье речь пойдёт о системах двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными. Вот несколько методов решения систем линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм достаточно прост и заключается в следующем:

Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:

Согласно первому пункту алгоритма решения СЛАУ нужно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить переменную y через переменную x:

Далее подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы. Получим:

Тогда можно записать систему уравнений, равносильную первой:

Раскроем скобки и приведём первое уравнение системы к следующему виду:

Теперь найдём значение y, подставив значение переменной x в выражение для второй переменной:

Применив данный метод к рассматриваемой системе линейных уравнений, мы нашли пару чисел (7;3), являющуюся её решением.

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда». Выберите класс и получите неделю бесплатного доступа к курсу алгебры по промокоду ALGEBRA2020: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс.

Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе уравнений, алгоритм метода достаточно простой:

В качестве примера решим систему уравнений:

методом почленного сложения (вычитания). Здесь будет достаточно просто «избавиться» от переменной y. Для этого почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2:

получим равносильную систему уравнений:

Теперь прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, а к правой части первого уравнения — правую часть второго. В итоге получим уравнение вида:

Решим это уравнение относительно единственной переменной:

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы и найдём значение y:

Итак, пара чисел (4;3) является решением системы линейных уравнений с двумя переменными. Данное решение было получено методом сложения.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.

Определение

Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:

Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ. Например, у рассмотренной выше системы уравнений:

главный определитель будет иметь вид:

Найдём его значение:

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях, когда Δ ≠ 0.

Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:

Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.

Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений:

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при переменных. Так, для системы вида:

матрицей A является:

Столбцом свободных коэффициентов будем называть

а столбцом переменных —

Тогда систему уравнений можно переписать в виде:

Поясним, как происходит умножение матрицы на столбец. В матрице A есть строки: (а₁₁, а₁₂) и (а₂₁, а₂₂) а также столбцы (а₁₁, а₂₁) и (а₁₂, а₂₂).

При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение происходит по следующему правилу:

Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:

1) вычислить определитель матрицы A:

2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в матрице A следующим образом:

3) записать матрицу алгебраических дополнений А ͙. Для этого необходимо лишь поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего получим:

записать матрицу, транспонированную к матрице алгебраических дополнений:

найти обратную матрицу А⁻¹, разделив каждый элемент матрицы Аᵀ ͙ на значение определителя матрицы A, то есть

Для нахождения неизвестных нужно полученную обратную матрицу А⁻¹ умножить на столбец свободных коэффициентов:

Поясним всё на примере решения системы линейных уравнений с двумя переменными:

столбец свободных коэффициентов:

Следуя алгоритму решения СЛАУ, найдём обратную матрицу А⁻¹:

1) определитель матрицы A равен

3) матрица алгебраических дополнений:

4) матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений:

5) обратная матрица:

Теперь умножим найденную обратную матрицу на столбец свободных коэффициентов:

Пара чисел (1;2) является решением данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных уравнений? Рассмотрим этот способ на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

На первом этапе решения систему уравнений необходимо привести к трапециевидной форме, которая выглядит следующим образом:

Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на число.

Применим данный метод к системе линейных уравнений с тремя переменными:

Расширенная матрица A данной системы принимает вид:

Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке — нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на третьем месте).

Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется только один ноль:

С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

С другой стороны, следуя алгоритму решения системы уравнений, необходимо вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в последней строке матрицы:

Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:

Итак, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.

Заключение

В этой статье мы разобрали следующие основные способы решения систем линейных уравнений:

Надеемся, что теперь вы сможете без труда справиться с любым линейным уравнением.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
\( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Источник