как узнать скорость течения реки если известны скорости по и против течения и расстояние
Задачи на движение по реке
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 1. Катер движется против течения реки. За сколько часов он преодолеет расстояние 112 км, если его собственная скорость 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Решение: Сначала узнаем скорость движения катера против течения реки, для этого от его собственной скорости отнимем скорость течения:
Теперь можно узнать за сколько часов катер преодолеет 112 км, разделив расстояние на скорость:
Решение задачи по действиям можно записать так:
Ответ: За 4 часа катер преодолеет расстояние 112 км.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.
Задача 2. Расстояние от пункта A до пункта B по реке равно 120 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от пункта A до B, если её собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Рассмотрите два варианта:
1) лодка движется по течению реки;
2) лодка движется против течения реки.
Решение: Если моторная лодка будет двигаться по течению реки, то её скорость будет равна сумме собственной скорости со скоростью течения реки:
Значит расстояние между пунктами лодка преодолеет за:
Если лодка будет двигаться против течения реки, то её скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения реки:
Значит, чтобы узнать сколько времени потратит лодка на путь от пункта A до пункта B, надо расстояние разделить на скорость:
Решение задачи по действиям для движения по течению реки можно записать так:
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость лодки,
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так:
1) При движении по течению реки моторная лодка потратит 4 часа на путь от пункта A до пункта B.
2) При движении против течения реки моторная лодка потратит 5 часов на путь от пункта A до пункта B.
Особенности решения задач на определение скорости течения реки. Примеры решений
Одними из увлекательных задач по математике и физике, которые предлагает учитель решить школьникам, являются задачи на определение скорости течения реки. В данной статье рассмотрим особенности решения этих задач и приведем несколько конкретных примеров.
О каких задачах пойдет речь?
Каждый знает, что вода в реке обладает некоторой скоростью течения. Равнинные реки (Дон, Волга) текут относительно медленно, небольшие же горные реки отличаются сильным течением и присутствием водяных воронок. Любой плавающий предмет, который брошен в реку, будет удаляться от наблюдателя со скоростью течения реки.
Люди, которые купались в реке, знают, что против ее течения плыть очень тяжело. Чтобы продвинуться на несколько метров, необходимо приложить намного больше усилий, чем при движении в стоячей воде озера. Наоборот, движение по течению осуществляется практически без каких-либо затрат энергии. Достаточно лишь поддерживать тело на плаву.
Все эти особенности позволяют сделать следующий важный вывод: если тело, имеющее в стоячей воде скорость v, будет двигаться в русле реки, то его скорость относительно берега будет равна:
Если тело движется под некоторым углом к течению, то результирующий вектор его скорости будет равен сумме векторов v¯ и u¯.
Формулы, которые необходимо запомнить
Помимо приведенной выше информации, для решения задач на скорость течения реки следует запомнить несколько формул. Перечислим их.
Скорость течения является величиной постоянной, а вот скорость тела (лодки, катера, пловца) в общем случае может меняться, как по величине, так и по направлению. Для равномерного прямолинейного движения справедливой будет формула:
Помимо этих формул, для успешного решения задач следует уметь пользоваться тригонометрическими функциями при разложении векторов скорости на составляющие.
Теперь перейдем к решению конкретных задач.
Задача с лодкой и рыбаком
Один рыбак решил отправиться на своей лодке без мотора вверх против течения реки на расстояние 2 километра. В стоячей воде он бы преодолел это расстояние за 30 минут, но при движении по реке ему понадобился целый час. Необходимо найти, чему равна скорость течения реки.
Поскольку скорость воды в реке является величиной неизвестной, то обозначим ее буквой x. Скорость лодки также неизвестна, однако ее можно вычислить, используя значения из условия для движения в стоячей воде. Получаем для скорости v лодки:
Мы нашли скорость, с которой рыбак на лодке может перемещаться по спокойному озеру. Чтобы найти скорость лодки против течения, необходимо из найденной величины вычесть значение x. Тогда для движения вверх по реке можно записать следующее равенство:
Выражаем отсюда значение неизвестного параметра, имеем:
Осталось подставить цифры из условия задачи и записать ответ:
Таким образом, скорость течения в реке в два раза меньше таковой для лодки.
Задача с моторной лодкой
Моторная лодка совершает каждый день переходы по реке из пункта A в пункт B. Дистанция между A и B составляет 7 км. Известно, что скорость лодки по течению равна 8 км/ч. Чему равна скорость течения, если на путь вниз по реке лодка затрачивает на 10 минут больше времени, чем при движении вверх по ней.
В данном случае мы не знаем ни скорость моторной лодки, ни скорость воды в реке. Обозначим первую как y, а вторую как x. Тогда можно записать следующие четыре уравнения:
Первое уравнение отражает скорость лодки по течению, второе и третье уравнения связывают время и скорость при движении вниз и вверх по реке соответственно. Четвертое уравнение следует из условия задачи о разности времен прямого и обратного пути между пунктами A и B.
Сначала найдем из этих уравнений время t1 и t2:
Для определения скорости x воды в реке вычтем из второго третье уравнение, получим:
Подставляем в это равенство рассчитанные величины t1 и t2, а также расстояние между пунктами S, получаем, что вода в реке течет со скоростью 0,64 км/ч.
Задача: движение катера под углом к течению
Теперь решим задачу, которая требует умения пользоваться тригонометрическими формулами.
Катер начал движение от одного берега реки к другому под углом 60 o к течению. Скорость катера в стоячей воде равна 10 км/ч. Скорость течения составляет 2 км/ч. Необходимо определить, на какое расстояние катер сместится вдоль берега, прибыв на противоположную сторону реки. Ширина русла реки равна 500 метров.
Данную задачу следует решать, разбив путь катера на две составляющие: перпендикулярную и параллельную берегу. Используя данные задачи, для перпендикулярной составляющей пути можно записать выражение:
Для вычисления параллельного берегу пути S2 к горизонтальной проекции скорости катера следует добавить скорость течения, тогда соответствующее равенство будет иметь вид:
Подставляя известные величины, получаем ответ: катер вдоль берега пройдет путь 404 метра.
Задачи на движение по реке
Задачи на движение по реке трудны для пятиклассников, а взрослые недоумевают: чего же там трудного? Бревно или плот плывут со скоростью течения реки Vт., которая считается постоянной.
Скорость катера в стоячей воде Vс. называют собственной скоростью катера. Скорость катера по течению реки Vпо теч. больше собственной скорости катера на скорость течения реки: Vпо теч. = Vс. + Vт.
Скорость катера против течения реки Vпр теч. меньше собственной скорости катера на скорость течения реки: Vпо теч. = Vс. + Vт.
Эти соотношения полезно проиллюстрировать рисунком.
Скорость катера по течению больше его скорости против течения на две скорости течения.
Задача 1. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч. Какова скорость катера по течению и против течения реки?
1) 15 + 3 = 18 (км/ч) — скорость катера по течению реки,
2) 15 — 3 = 12 (км/ч) — скорость катера против течения реки.
Ответ. 18 км/ч и 12 км/ч.
Обратим внимание: скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки, а скорость катера против течения реки— это разность его собственной скорости и скорости течения реки, поэтому скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения.
Задача 2. Скорость моторной лодки по течению реки равна 48 км/ч, а против течения — 42 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки?
1) 48 — 42 = 6 (км/ч) — удвоенная скорость течения реки,
2) 6: 2 = 3 (км/ч) — скорость течения реки,
3) 48 — 3 = 45 (км/ч) — собственная скорость.
Ответ. 3 км/ч и 45 км/ч.
Задачи для закрепления берём в учебнике «Математика» для 5 класса (Просвещение, С. М. Никольский и др.) или в книге для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» (раздел Книги на сайте www.shevkin.ru). Приведём три задачи из учебника.
В качестве примера применения формируемого умения приведём задачу из сборника для подготовки к ГИА-9.
Задача 3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через 20 часов после отплытия из него.
Составлять и решать уравнение с неизвестным в знаменателе научат в 8 классе, если новый стандарт не отменит изучение таких уравнений, а находить скорость теплохода по течению и против течения реки надо научиться в 5 классе.
Задачи на движение по воде
Разделы: Математика
Данный материал представляет собой систему задач по теме “Движение”.
Цель: помочь учащимся более полно овладеть технологиями решения задач по данной теме.
Задачи на движение по воде.
Очень часто человеку приходится совершать движения по воде: реке, озеру, морю.
Сначала он это делал сам, потом появились плоты, лодки, парусные корабли. С развитием техники пароходы, теплоходы, атомоходы пришли на помощь человеку. И всегда его интересовали длина пути и время, затраченное на его преодоление.
В озере они будут стоять на месте, а в реке – плыть.
Рассмотрим первый вариант: лужа и озеро. Вода в них не движется и называется стоячей.
Кораблик поплывет по луже только в том случае, если мы его подтолкнем или если подует ветер. А лодка начнет двигаться в озере при помощи весел или если она оснащена мотором, то есть за счет своей скорости. Такое движение называют движением в стоячей воде.
Отличается ли оно от движения по дороге? Ответ: нет. А это значит, что мы с вами знаем как действовать в этом случае.
Задача 1. Скорость катера по озеру равна 16 км/ч.
Какой путь пройдет катер за 3 часа?
Следует запомнить, что скорость катера в стоячей воде называют собственной скоростью.
Задача 2. Моторная лодка за 4 часа проплыла по озеру 60 км.
Найдите собственную скорость моторной лодки.
Задача 3. Сколько времени потребуется лодке, собственная скорость которой
равна 28 км/ч, чтобы проплыть по озеру 84 км?
Итак, чтобы найти длину пройденного пути, необходимо скорость умножить на время.
Чтобы найти скорость, необходимо длину пути разделить на время.
Чтобы найти время, необходимо длину пути разделить на скорость.
Чем же отличается движение по озеру от движения по реке?
Вспомним бумажный кораблик в ручье. Он плыл, потому что вода в нем движется.
Такое движение называют движением по течению. А в обратную сторону – движением против течения.
Итак, вода в реке движется, а значит имеет свою скорость. И называют ее скоростью течения реки. ( Как ее измерить?)
Задача 4. Скорость течения реки равна 2 км/ч. На сколько километров река относит
любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1час, за 4 часа?
Те же, кто не умеет плавать, могут представить себе ситуацию, когда дует сильный ветер. Рассмотрим два случая:
1) ветер дует в спину,
2) ветер дует в лицо.
И в том и в другом случае идти сложно. Ветер в спину заставляет бежать, а значит, скорость нашего движения увеличивается. Ветер в лицо сбивает нас, притормаживает. Скорость при этом уменьшается.
Остановимся на движении по течению реки. Мы уже говорили о бумажном кораблике в весеннем ручье. Вода понесет его вместе с собой. И лодка, спущенная на воду, поплывет со скоростью течения. Но если у нее есть собственная скорость, то она поплывет еще быстрее.
Следовательно, чтобы найти скорость движения по течению реки, необходимо сложить собственную скорость лодки и скорость течения.
Задача 5. Собственная скорость катера равна 21 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч. Найдите скорость катера по течению реки.
Теперь представим себе, что лодка должна плыть против течения реки. Без мотора или хотя бы весел, течение отнесет ее в обратную сторону. Но, если придать лодке собственную скорость ( завести мотор или посадить гребца), течение будет продолжать отталкивать ее назад и мешать двигаться вперед со своей скоростью.
Поэтому, чтобы найти скорость лодки против течения, необходимо из собственной скорости вычесть скорость течения.
Задача 6. Скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость катера 17 км/ч.
Найдите скорость катера против течения.
Задача 7. Собственная скорость теплохода равна 47,2 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения.
Ответ: 51,9 км/ч; 42,5 км/ч.
Задача 8. Скорость моторной лодки по течению равна12,4 км/ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2,8 км/ч.
Задача 9. Скорость катера против течения равна 10,6 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость по течению, если скорость течения реки 2,7 км/ч.
Ответ: 13,3 км/ч; 16 км/ч.
Связь между скоростью по течению и скоростью против течения.
Введем следующие обозначения:
Тогда можно записать следующие формулы:
Попытаемся изобразить это графически:
Вывод: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения.
Vno теч — Vnp. теч = 2 Vтеч.
1) Скорость катера против течения равна 23 км/ч, а скорость течения 4 км/ч.
Найдите скорость катера по течению.
2) Скорость моторной лодки по течению реки равна 14 км/ч/ а скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость лодки против течения
Задача 10. Определите скорости и заполните таблицу:
Как найти скорость течения реки: методика и рекомендации. Примеры решения задач
Многие люди хотя бы один раз в своей жизни путешествовали по реке на лодке, байдарке или катере. Для таких путешествий важно знать, с какой скоростью течет вода в реке, чтобы иметь возможность определить необходимое для перемещения на определенное расстояние время. В данной статье рассмотрим вопрос, как найти скорость течения реки, а также решим две физические задачи по данной теме.
Особенности течения воды в реках
Вам будет интересно: Что такое тетива: описание, виды, характеристики
Многие замечали, что одни реки текут медленно, и поверхность воды является гладкой. Обычно это крупные реки, например, Дон или Волга. Такое течение с точки зрения физики называется ламинарным, то есть слои жидкости перемещаются по прямым линиям и не смешиваются друг с другом. Более мелкие же речушки в некоторых местах буквально «бурлят». Этот тип течения характерен для рек горной местности. Он называется турбулентным. В отличие от ламинарного, здесь мелкие объемы воды перемещаются по хаотичным траекториям, на поверхности наблюдаются водовороты и пена.
Русло реки также оказывает существенное влияние на скорость течения. Так, известно, что вблизи берега и дна вода течет медленнее, чем в центральной части русла внутри ее объема. При своем движении слои воды задерживаются препятствиями, в виде неоднородностей дна и берегов, за счет трения о них. Причем каменистое дно уменьшает скорость перемещения воды сильнее, чем дно глинистое или песчаное.
Ширина русла и водоносность
Для более глубокого понимания вопроса, как найти скорость течения реки, важно знать еще один момент. Дело в том, что одна и та же река в разных местах может течь с различной скоростью. Причиной является изменение площади сечения ее русла, которое внешне связано с изменение ширины. Справедливости ради отметим, что не только изменение ширины, но и колебания в глубине влияют на быстроту течения воды (чем глубже, тем медленнее).
В виду сказанного выше, о скорости перемещения воды в реке имеет смысл говорить, если на достаточно длительном участке (километры и более) параметры ее русла колеблется незначительно, и река не имеет на этом участке притоков.
Более надежной характеристикой для любой реки является ее водоносность. Под водоносностью понимают объем воды, проходящий через вертикальное сечение русла за единицу времени. Водоносность не зависит от параметров русла, однако, она так же, как и скорость, изменится, если на рассматриваемом участке реки имеется приток.
В данной статье мы ограничимся предоставленной информацией о водоносности и перейдем к вопросу, как найти скорость течения реки.
Практический метод определения скорости воды в реке
Рассмотрим простую практическую методику, которая отвечает на вопрос, как находить скорость течения реки.
В первую очередь необходимо выбрать участок реки, где движение воды будет ламинарным, и русло не будет менять своей ширины. Затем, на берегу следует забить колышек. Он будет служить начальной отметкой. От первого колышка, используя измерительную ленту, следует отсчитать вдоль берега расстояние 10 метров, затем, забить второй колышек. Он будет конечной отметкой. Все подготовительные работы сделаны. Теперь можно переходить непосредственно к измерениям.
Как находить скорость течения реки? Для этого понадобится какой-нибудь легкий предмет, который может плавать. Например, маленькая палочка, шишка, лист бумаги, перо птицы и так далее. Предмет следует бросить в воду напротив первого колышка. При этом необходимо включить секундомер. Как только предмет, двигаясь по реке, достигнет второго колышка, секундомер нужно остановить, и зафиксировать измеренное время t.
Описанные эксперимент рекомендуется повторить несколько раз (4-5). Затем, нужно рассчитать среднее значение измеренного времени. Обозначим его t¯. Оно равно:
Некоторые рекомендации по измерению скорости и по обработке результатов
Чтобы получить более точное значение скорости течения воды в реке, необходимо плавающий предмет бросать в воду на разные расстояния от берега. Кроме того, измерения следует проводить в безветренную погоду.
Задача с рыбаком и лодкой
Разобравшись, как найти скорость течения реки, решим следующую задачу. Известно, что рыбак на лодке должен проплыть по реке 10 км. Проведя необходимые измерения, он установил, что течение в реке составляет 1 м/с. Какое время рыбаку понадобиться для того, чтобы по течению проплыть указанное расстояние, не используя при этом дополнительные средства тяги (мотор, весла).
Переводим скорость из м/с в км/ч, получаем 3,6 км/ч. Тогда искомое время будет равно:
Задача с катером
Катер движется против течения из пункта A в пункт B, расстояние между которыми составляет 5 км. Это расстояние катер прошел за 30 минут. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость катера в три раза больше ее.
Обозначим скорость воды в реке x. Тогда скорость движения катера равна 3*x. Поскольку он двигался против течения, то можно записать следующее уравнение движения:
Данные из условия задачи, подставленные в полученное равенство, приводят к ответу: скорость течения равна 5 км/ч.