Как найти период и частоту – определение и формула. Читайте, что такое угловая частота, цикл, частоты синусоидальных волн, единицы измерения, уравнения.
Период – продолжительность цикла повторяющегося события, а частота – количество циклов за временной промежуток.
Задача обучения
Основные пункты
Термины
Пример
Когда-то существовал викторианский трюк. Человеку нужно было вслушаться в звук мухи, воспроизвести музыкальную ноту на пианино и сказать, сколько раз летучая мышь ударила крыльями за секунду. Если это 200 раз в секунду, то частота движения – f = 200/1 с = 200 Гц. Период составляет 1/200-ю секунду: T = 1/f = (1/200) с = 0.005 с.
Период и частота
Эти термины используют для выражения повторного движения. Период – время, которое тратится на одно повторение. Один полноценный проход – цикл. Частота – количество циклов за конкретный временной промежуток (f).
Синусоидальные волны разных частот. Нижние обладают более высокими частотами, а горизонтальная ось отображает время.
Понятия выражаются в формуле: F = 1/T.
Допустим, частота сердца новорожденного составляет 120 раз в минуту, а период – половина секунды. Если вы отточите интуицию на ожидание сопряженности больших частот с короткими периодами (и наоборот), то избежите ошибок.
Единицы
Чаще всего частота рассчитывается в герцах (Гц). 1 Гц указывает на то, что событие происходит раз в секунду. Традиционная единица, применимая во вращающихся механических приборах, – обороты в минуту (об/мин). Единица периода – секунда.
Угловая частота
Частота периодического движения лучше всего передается через угловую частоту – ω. Она относится к угловому смещению на единицу времени или скорости перемены состояния синусоидальной формы волны. В виде формулы:
Колеса совершают вращение с частотойf циклов в секунду, что можно описать как ω радиан в секунду. Механическая связь позволяет линейным колебаниям поршней парового двигателя руководить колесами
у (t) = sin(θ(т)) = sin(ωt) = sin(2πft)
Угловая частота часто отображается в радианах на секунду.
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний.
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частотыω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея в виду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.
Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическим колебаниям (а приближенно — с тем или иным успехом — и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).
В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.
Единицы измерения: секунда и, в принципе, вообще единицы измерения времени.
Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:
В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта — например, частицы — есть частота [3] колебаний его волновой функции).
Теоретическое вычисление периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).
Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно — через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решётки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T= t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν= N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.
Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени \(\large \Delta t\), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.
Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.
А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.
Что такое амплитуда
Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.
Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.
В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.
Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.
К примеру, пусть колеблется величина \( \large x \). Тогда символом \( \large x_ <0>\) обозначают амплитуду колебаний этой величины.
Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».
С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):
Что такое период
Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.
Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.
\( \large T \left( c \right) \) – период колебаний.
Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.
Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.
Период – это время одного полного колебания.
На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):
Что такое частота
Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» \( \large \nu \).
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».
Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:
\( \large \nu \left( \frac<1> \right) \).
Иногда в учебниках встречается такая запись \( \large \displaystyle \nu \left( c^ <-1>\right) \), потому, что по свойствам степени \( \large \displaystyle \frac<1> = c^ <-1>\).
Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.
Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.
Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:
Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).
Что такое циклическая частота
Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол \(\large 2\pi\) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный \(\large 2\pi\) секунд.
Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:
Примечание: Величину \( \large \omega \) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).
Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за \(\large 2\pi\) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный \(\large 2\pi\) секунд?».
Обычная \( \large \nu \) и циклическая \( \large \omega \) частота колебаний связаны формулой:
Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.
Чтобы с помощью графика колебаний определить величину \( \large \omega \), нужно сначала найти период T.
Затем, воспользоваться формулой \( \large \displaystyle \nu = \frac<1>\) и вычислить частоту \( \large \nu \).
И только после этого, с помощью формулы \( \large \omega = 2\pi \cdot \nu \) посчитать циклическую \( \large \omega \) частоту.
Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.
Определить величину \( \large \omega \) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный \(\large 2\pi\), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).
Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний
Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.
Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, \(\large \varphi_ <0>\).
\(\large \varphi_ <0>\left(\text <рад>\right) \) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).
Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.
Рассмотрим теперь, как величина \(\large \varphi_ <0>\) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.
Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы \(\large \varphi_ <0>\) принимаем равной нулю.
Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время \(\large \Delta t\), начальный угол \(\large \varphi_ <0>\) будет отличаться от нулевого значения.
Определим угол \(\large \varphi_ <0>\) с помощью графика колебаний.
Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина \(\large \varphi_ <0>\) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени \(\large \Delta t\) и соответствующий ему начальный угол \(\large \varphi_ <0>\).
Как вычислить начальный угол по интервалу смещения
Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.
Значит, интервалу \(\large \Delta t\) соответствует угол \(\large \displaystyle \frac<\pi > <2>\) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.
Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:
Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол \(\large \displaystyle \frac<\pi > <2>\) имеет знак «плюс».
Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая \(\large \varphi_ <0>= 0 \).
Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».
А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину \(\large \varphi_ <0>\) записываем со знаком «-».
Примечания:
Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.
Что такое фаза колебаний
Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.
В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают \(\varphi\).
Различия между фазой и начальной фазой
Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.
Первый угол называют начальной \( \varphi_<0>\) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто \( \varphi\) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.
Как на графике колебаний отметить фазу
На графике колебаний фаза \(\large \varphi\) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.
На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.
А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.
Как определить фазу с помощью формулы
Пусть нам известны величины \(\large \omega\) — циклическая частота и \(\large \varphi_<0>\) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.
Время колебаний t будет величиной переменной.
Фазу \(\large \varphi\), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:
Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.
Что такое разность фаз
Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.
Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.
\( \large \varphi_<01>\) – для первого процесса и,
\( \large \varphi_<02>\) – для второго процесса.
Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:
Величина \(\large \Delta \varphi \) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.
Как связаны характеристики колебаний — формулы
Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.
Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.
\( \large T \left( c \right) \) – время одного полного колебания (период колебаний);
\( \large N \left( \text <шт>\right) \) – количество полных колебаний;
\( \large t \left( c \right) \) – общее время для нескольких колебаний;
.
.
