В чем взаимосвязь математики и музыки
Исследовательская работа «Математика в музыке»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
« Чебоксарский техникум технологии питания и коммерции »
Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики
Математика в музыке
Студент 1 курса, группа №62
Яндакова Светлана Сергеевна
Николаева Людмила Николаевна
Введение 3-4
1. История исследования связи музыки с математикой 5-6
2. Связь между звуками и числами 7-8
3. Восприятие математики и музыки 9
4. Математическая чистота звука 10
5. Золотое сечение в музыкальных произведениях 11
6. Практическая часть 12-13
7. Музыкальные задачи 14
9. Список использованной литературы 16
10. Приложение 1 17
Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса
( А. Эйнштейн )
Целью моей исследовательской работы является проведение параллели между музыкой и математикой, на основе музыкальных произведений, для выявления взаимосвязи между ними.
Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.
Выявить общие элементы между звуками и числами ;
Отыскать преимущество применения законов математики в написании музыки.
Предмет исследования — элементы математики в музыке.
Метод проблемно-поисковой ситуации.
1. История исследования связи музыки с математикой
Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой.
Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.
В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.
Слова мелодия, ритм родились в Элладе, название слова « гамма » происходит от греческой буквы (гамма). После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего « физико-акустический прибор », музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляли интерес к музыке.
Именно Пифагор был первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.
Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Пифагор основал науку о гармонии сфер, утвердив ее, как точную науку. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева.
2. Связь между звуками и числами
Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д’Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Такие выдающиеся имена не оставляют сомнений о важной роли математики в музыке, при этом не стоит забывать о важной особенности музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом.
Взаимосвязь математики с музыкой
Автор: Нежинская Любовь
ВЗАИМОСВЯЗЬ МУЗЫКИ И МАТЕМАТИКИ
Проблемы, решению которых способствует проект:
Работа над проектом развивает любознательность, познавательную активность сразу по двум предметам. Что способствует расширению кругозора через самостоятельный поиск нужной информации, а это способствует самообразованию.
Цель работы:
Проанализировать связь между математикой и музыкой.
Методы исследования:
1.Изучение, обработка и анализ документов.
2.Метод исследования музыкального произведения.
3.Метод проблемно-поисковой ситуации.
Глава 1. Пифагорейская теория музыки.
1.1 Пифагорова гамма.
1.2 Первые попытки математического осмысления музыки.
Одним из первых музыкальных инструментов, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты, был монохорд. Монохорд – это древнегреческий однострунный музыкальный инструмент. Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две относительно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволяющая точно установить, какая часть струны звучит. Как музыкальный инструмент монохорд кажется слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием. Изучая колебания струны монохорда, древние греки сформулировали законы:
1.3.Математический строй музыки.
В качестве основной льдообразующей ступеньки выбрали тон, античным теоретикам осталось только отложить от основного звука (f1=1) тон (f2=9/8), затем – еще один тон (f3=9/8*9/8=81/64), а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты (f4=4/3) назвать полутоном I43=4/3 : 81/64 = 256/243. Название это вполне оправдано, так как деление тона – интервала пополам дает \/9/8 »1,0607, а 256/243»1,0545,т. е. полутон практически равен половине тона. Полутон – это наименьшее расстояние между звуками по высоте. (Интервал тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами). Так была получена основа всей древнегреческой музыки – тетрахорд – четырех струнный звукоряд в пределах кварты. Имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда: дорийский: полутон – тон, фригийский: тон – полутон – тон, лидийский: тон – тон – полутон.
Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу. Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Так как октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки назвали «гармония». Именно в античной теории музыки слово «гармония» обрело свое современное значение – согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получилось три: дорийская: 1/2 – 1 – 1 – 1 – 1/2 — 1 – 1; фригийская: 1 – 1/2 — 1 – 1 – 1 – 1/2 – 1; лидийская: /– 1 — 1/2. Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона – полутон, 3 тона – полутон, или на белых клавишах фортепиано до – ре – ми – фа – соль – ля – си – до). А в дорийской и фригийской – почти натуральный минор (т. к в сравнении с натуральным минором (1 – ½ — 1 – 1 – ½ — 1 – 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской – повышена шестая).
Легко получить математическое выражение гаммы, зная размеры интервалов, образующих лидийскую гармонию и правила действия с ними. Приняв частоту нижнего тона за единицу f1=1, находим первый тетрахорд:
f1=1, f2=9/8, f3=9/8*9/8 = 81/64, f4=4/3. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f5=3/2f1=3/2, f63/2f2=27/16, f7=3/2f3=243/128, f8=3/2f4=2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
до ре ми фа соль ля си до
Глава 2. Современное осмысление геометрической теории музыки.
Связь между музыкой и математикой известная с глубокой древности. Знаменитая концепция Musica Universalis, появившаяся в Средние века, связывала с музыкой геометрически точное движение небесных тел – пускай, звуков ее нам не слышно, но гармонии у них схожие. Предложен совершенно новый подход к пониманию музыкальной гармонии, позволяющий описать ее в строгих терминах геометрии. В этом направлении работают и современные американские ученые Клифтон Каллендер (Clifton Callender), Ян Куинн (Ian Quinn) и Дмитрий Тимошко (Dmitri Tymoczko), предложившие новый взгляд на математический анализ музыки. В своей недавно вышедшей это трио музыкантов и математиков сумело сформулировать подход, названный ими «геометрической теорией музыки» и позволяющий перевести абстрактный язык музыкальной гармонии в более конкретные геометрические образы.
Каждую ноту авторы представили в математическом выражении, как логарифм частоты ее звука. Логарифм – это показатель степени, в которую следует возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. На этой основе они описали аккорды, сгруппировав их в «семейства», в зависимости от числа входящих в них нот. Каждое из «семейств» они организовали в соответствии с определенной математической структурой и расположили в комплексном геометрическом пространстве наподобие осей координат в классической Декартовой системе – только в этом случае речь идет о неевклидовых пространствах. Декартова система – это прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве. Неевклидовое пространство – это пространство, свойства которого базируются на системе аксиом, отличных евклидовой. Разные группы аккордов «порождали» разные пространства. Этот метод, по мнению авторов, позволяет глубже проанализировать и сравнить разные направления музыки. По крайней мере, западной музыки, поскольку сама концепция аккорда далеко не универсальна для разных народов и стран.
«“Музыка сфер” – не совсем метафора, — поясняет принстонский профессор Дмитрий Тимошко, — С нашим геометрическим подходом станет возможно создать новые музыкальные инструменты, а возможно, и стили. Но для меня главный результат состоит в том, что можно наглядно увидеть взаимосвязи между самыми разными музыкальными концепциями. Немного преувеличивая, скажем, что вся история музыки предстает, как раскрытие разных симметрий и разных геометрических пространств».
Как пишут ученые в своей статье, суть формального понимания музыки состоит в отбрасывании излишней информации и абстрагировании. Абстрагирование — это мысленное выделение, вычленение некоторых элементов конкретного множества и отвлечение их от прочих элементов данного множества. К примеру, если взять на гитаре аккорд до-ми-соль, его можно назвать «до мажор», независимо от того, в какой конкретно последовательности играть эти ноты, или в какой октаве, или сколько раз каждая нота сыграна. С точки зрения «геометрической теории музыки», эти варианты исполнения «до мажора» сходны, но не идентичны: они симметричны. Авторы описали 5 видов симметрии, применяя которые можно «переходить» от одного варианта к другому – в рамках неевклидовых пространств их геометрической модели они работают так же, как обычные оптические симметрии в нашем привычном пространстве. Атональность здесь предстает, как нарушение строгих симметричных отношений. Атональнсть-это термин, который применяется в музыке, в которой отсутствует определённый тональный центр и связанные с ним соотношения созвучий. Основной принцип атональности — полное равноправие всех тонов.
Набор этих симметрий авторы назвали OPTIC, по первым буквам: O – сдвиг на октаву (octave shifts), Р – перестановка (permutation), смена порядка нот в аккорде, Т – перенос (transposition), сдвиг всех нот аккорда на равный тон, I – инверсия (inversion), обращение аккорда, и С – смена кардинальности (cardinality changes), изменения числа вхождения ноты в аккорд.
Применение к аккордам разных типов симметрии и их комбинаций создает все множество разных музыкальных концепций – не только известных человечеству. Геометрическая интерпретация «семейства» аккордов из четырех нот: чем ближе составляющие их ноты друг к другу по тону, тем более «холодным» цветом они окрашены.
Красная сфера вверху соответствует уменьшенному септаккорду, весьма популярному у классических композиторов XIX века. Музыкальный септаккорд – это аккорд их четырёх звуков, которые расположены или могут быть расположены по терциям. ( Один из простых интервалов, вершина которого является третьей ступенью по отношению к основанию.) Поблизости от него располагаются аккорды, наиболее часто встречающиеся в западной музыке.
Глава 3.
Исследования музыкальных произведений
Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты»
11123313 / 535 / 44432246 / 545 / 3353 / 666716 / 22217572 / 176 / 4561 / 7672 / 321117 / 176213 / 444443 / 22221 /.
Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.
В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.
В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3), во II – тоже 13 (5+5+3), в III – 3 (3), в IV – 10 (5+5), в V – 14 (3+3+5+3), в VI – 1, в VII – 6 (5+1), в VIII – 1, в IX – 6 (5+1), в X – 0, в XI – 6 (3+1+1+1), в XII – 4 (1+3), в XIII – 3, в XIV – 1. Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1.
Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.
Получили числа в соответствии с номерами тактов:
В чем взаимосвязь математики и музыки
Мой проект посвящен актуальной теме – влиянию музыки на интеллектуальное развитие школьников. Музыка в моей жизни занимает огромное место. Меня эта тема заинтересовала потому, что в своих наблюдениях я отметила более высокую результативность успеваемости учащихся, которые занимались, или занимаются музыкой. Эти дети имеют разносторонние интересы и увлечения: занимаются в различных кружках, спортивных секциях, участвуют в предметных олимпиадах, научно-практических конференциях и др. Известно, что музыка оказывает влияние на развитие интеллектуальных способностей, которые также являются предпосылкой развития творчества, активной жизненной позиции.
В настоящее время в России и за рубежом большое внимание уделяется вопросам развития интеллекта школьника и его интеллектуального потенциала. С каждым годом жизнь предъявляет все более высокие требования к школьникам: неуклонно растет объем знаний, которые им нужно передать; педагоги стремятся, чтобы усвоение этих знаний было не механическим, а осмысленным.
Актуальность. Музыка считается одним из мощных средств воздействия на развитие интеллекта школьника. Научно-технический прогресс диктует определенные требования к человеку XXI века: он должен быть не просто созидателем, а созидателем творческим и интеллектуально развитым. Федеральный компонент государственного образовательного стандарта одной из главной целью обучения предусматривает развитие интеллектуальной познавательной активности учащихся. Учебные программы рассчитаны на учеников с хорошо развитыми умственными способностями или с наличием высокого интеллекта.
Проблема заключается в том, что интеллектуальные способности у многих учащихся находятся на низком уровне, что затрудняет процесс усвоения учебного материала.
Цель моего исследовательского проекта:
изучение влияния музыки на умственную деятельность учащихся и развитие их математических способностей
1. Изучить литературу о влиянии музыки на организм человека;
2. Выяснить связь математики и музыки, найти их общие элементы
3. Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку, чтобы установить связь между звуками и способностями личности
4. Проследить динамику роста усвоения информации, полученной в результате занятий музыкой
Объект исследования: музыка и математика.
1) провести исследования;
Методы: наблюдения, беседы, анкетирования, диагностики.
Первый этап моей работы – это знакомство с литературой и другими источниками информации. Для изучения литературы по данной теме использовались ресурсы Интернета (электронные книги). Например, группа британских ученых сделала сенсационное заявление о том, что коэффициент развития интеллекта (IQ) напрямую зависит от того, какой стиль музыки нравится человеку. Всем известно, что уровень интеллекта, который давно придумали измерять при помощи коэффициента IQ (intelligence quotient) зависит от музыкальных пристрастий. Показателем интеллектуального развития выступает коэффициент интеллектуальности IQ, а интеллект, измеряемый с помощью системы тестовых заданий, получает название «тестового» или «психометрического» интеллекта. Можно сравнивать умственное развитие ребенка с возможностями его ровесников. Например, календарный возраст 15 лет, а умственные способности ближе к 12-летней группе, таков, следовательно, и его «умственный» возраст. В дальнейшем на основе расчетов соотношения умственного и хронологического возраста и был выведен показатель, названный коэффициентом интеллектуальности (IQ). Среднее значение IQ соответствует 100 баллам, а самые низкие могут приближаться к 0, самые высокие – к 200. Стандартное (то есть среднее для всех групп) отклонение – 16 баллов в каждую сторону. У каждого третьего человека IQ находится между 84-100 баллами, и такова же доля лиц (34 %) с показателем от 100 до 116 баллов. Таким образом, эта основная масса (68 %) и считается людьми со средним интеллектом.
Самые низкие результаты в тестах на определение IQ показали те, кто много лет увлекается стилем хип-хоп, а также r’n’b. Таким образом, рэперов назвали самыми «недалекими» среди всех испытуемых. Для тестов использовали классический опросник для определения IQ, так и по традиционный тест по школьной программе, туда был включен основополагающий общеобразовательный материал. Более высокие показатели были у их ровесников, которые предпочитают классическую и симфоническую музыку. К величайшему огорчению родителей, те дети, которым нравится тяжелая музыка и рок- обладатели одних из самых низких показателей уровня интеллекта. Британские ученые и психологи опросили 36 тысяч человек из разных стран мира. Это исследование считается самым крупным из всех когда-либо проводившихся.
Профессор Чеффилдского Университета Кэйти Овери сформулировала аспекты так называемых «интеллектуальных выгод» от музыки. Как сообщается в журнале «NORDIC JOURNAL OF MUSIC THERAPY» (выпуск 1, Зима 2000г.), ею были определены механизмы воздействия музыки на умственные способности человека. Положительные эмоции, вызванные музыкой, увеличивают мотивацию детей, активизируют деятельность обучающихся, стимулируют познавательный процесс. Музыкальная деятельность неизменно пробуждает интерес к излагаемому материалу, развлекает, успокаивает, придает силы. Дети, которые чаще соприкасаются с классической музыкой, отличаются от своих сверстников: у них более развиты процессы восприятия, памяти; речевые, орфографические и вычислительные навыки; такие дети более дисциплинированны и эмоциональны. Мыслительные процессы у таких детей отличаются более высокой скоростью мышления и полифоничностью, т.е. способностью одновременно обрабатывать большое количество разнообразной информации.
Самбурская А.А., автор книги «Музыка интеллекта» доказала, что положительные эмоции, вызванные музыкой, увеличивают мотивацию, активизируют деятельность обучающихся, стимулируют познавательный процесс.
В связи с этим представляют большой интерес результаты исследований в области влияния музыки на умственную деятельность детей и на функции мозга, которые отражены в работах таких ученых, как В.Б. Полякова (1965-1969), А.Л. Готсдинер (1975), Т.К. Метельницкая (1977), Л.П. Трегубова (1977), В.Ф. Коновалов, Н.А. Отмахова (1983), А.В. Торопова (1995), О.В. Лаврова (1996), Г.Ю. Маляренко, М.В. Хватова (1993-1996), M. Critchley, R. Henson (1987), N.M. Weinberger (1999) и др.
Музыка может выступать как метод стимуляции, который направлен на пробуждение интереса к излагаемому материалу, удивлению, любопытству. Л.Н. Трегубова отмечает, что использование музыкального сопровождения на школьном уроке способствует сосредоточенности, дает положительный эффект. Исследование В.П. Петрушина показывает, что инструментальная музыка стимулирует воображение слушателей и способствует их творческому развитию мышления.
Венгерский педагог Золтан Кодай в 1951 году создал первую школу с расширенным преподаванием музыки. В его школах резко возросла успеваемость по сравнению с другими школами, – и это, несмотря на то, что объем преподавания других предметов пришлось сократить в пользу уроков музыки. Этот эксперимент был повторен в Швейцарии (1988-1991) и также выявил положительные результаты. В книге В. Вюнш «Формирование человека посредством музыки», автор рассматривает музыку в качестве центрального предмета преподавания, который формирует человека и позволяет ему набирать интеллектуальный опыт.
Связь музыки и математики
Математика (греч. – знание, наука). Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики является одним из связующих звеньев науки и искусства.
Музыка (греч. – искусство муз), значит искусство, отражающее действительность в звуковых, художественных образах.
Музыка математична, а математика музыкальна и там и тут господствуют идея числа и отношения. Исходя из этого, можно провести следующие параллели.
1. Цифровые обозначения.
Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот, нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта – 4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр. (Приложение 2)
Ритм важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
Например, числа кратные 3(трём) обладают следующим ритмом: Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. и т.д. Получается красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как музыкальный размер 3/4, который соответствует вальсу.
Если посчитать числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму, звучащему, как музыкальный размер 2/4. Таким образом, числа обладают ритмом. (Приложение 3)
3. Наличие в музыке и математике противоположностей.
Математические секреты музыки
Ирина Ляховицкая
Математические секреты музыки
1.1. Интервалы и гармонии сфер….… 8
2. «Золотое сечение» в музыке. …. 10
2.1. Исследования Л. Л. Сабанеева…. 11
3. Теоретическое построение музыки…. 12
4. Обозначение и соотношение длительностей нот… 14
7. Противоположности…. 19
Список использованной литературы….… 21
Цель исследования: Выявление общих элементов и установление связи между музыкой и математикой.
Задача исследования: Определить взаимосвязь музыки и математики.
Объект исследования: Связь музыки и математики.
Предмет исследования: Музыка.
«Музыка – математика чувств, а математика – музыка разума».
Джеймс Джозеф Сильвестр (английский математик 19 век)
«Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом».
Готфрид Вильгельм Лейбниц (немецкий философ, математик 17 век)
Какая же связь может быть между математикой – мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать, такие, совершенно разные, человеческие культуры?
Математика (от греч. – знание, наука). — наука о величинах, их свойствах и законах их соединения
В своей работе я предлагаю найти ответы на эти вопросы, и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.
Подбирая информацию и интересные факты по этому вопросу, я узнал, что оказывается, люди уже очень давно задумывались о связи музыки и математики. Именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта – «Трактат о музыке»; первая крупная работа Леонарда Эйлера – «Диссертация о звуке».Эта работа 1727 года начиналась словами: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков».Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать».
Сейчас вряд ли кто-нибудь решиться сводить музыку к определенным числовым закономерностям. Тем не менее, математика и музыка связаны друг с другом замечательным и подчас совершенно удивительным образом.
В античной философии 6-4 вв. до н. э. существовало учение Пифагореизм, рассматривавшее число как формообразующий принцип всего существующего. Пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число. Более того,число в различных ипостасях: «бог-число», «вещь-число», «искусство-число» и т. д. стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй мира», действующий гармонично во всех проявлениях.
Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и человеческой души и конкретной вещи. Музыкальная гармония мыслилась древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего с математикой.
Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. У пифагорейцев музыка рассматривалась не столько как искусство, сколько как наука, а именно – как наука о числах. Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, — это математика.
Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.
1.1. ИНТЕРВАЛЫ И ГАРМОНИИ СФЕР
2. «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» В МУЗЫКЕ
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
Золотым сечением (делением) и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина большей его части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8. Кто и когда изобрел золотую пропорцию наукой не установлено. Одни ученые считают автором «золотого деления» Пифагора, другие уверены, что греческий философ и математик позаимствовал знания у египтян и вавилонян, которые пользовались золотыми пропорциями, создавая огромные фигуры фараонов и богов по частям. Установленные каноны позволяли по одной части определить целое и размеры других частей.
Цифры, выражающие длины отрезков «золотого сечения», оставляют «ряд Фибоначчи». В средневековье музыканты часто для придания своим произведениям геометрической стройности пользовались числовыми закономерностями, в том числе и знаменитыми «числами Фибоначчи». Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению «золотого деления». Так,21:34 = 0,617,а 34:55 = 0,618 (или 1,618, если делить большее число на меньшее).
«Ряд Фибоначчи» мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи «золотого деления», и в первую очередь в искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.
2.1. ИССЛЕДОВАНИЯ Л. Л. САБАНЕЕВА
В 1925 году русский музыковед, композитор, музыкальный критик и ученый Леонид Леонидович Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении «золотого сечения». В изученных произведениях наблюдалось 3275 «золотых сечений»; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно «золотое сечение», составило 1338.
Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено «золотых сечений». Наиболее высокий процент отмечается у гениальных композиторов, то есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса». У Бетховена (97%, Гайдна (97%, Моцарта (91%, Скрябина (90%, Шопена (92%).
По мнению Л. Л. Сабанеева, «золотое сечение» приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Л. Л. Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена (статья «Этюды Шопена в освещении «золотого сечения»). Он обнаружил в них 178 «золотых сечений». При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении «золотого сечения», но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МУЗЫКИ
Рассмотрим взаимосвязи между математикой и музыкой с точки зрения ее теоретического построения. Основой математических знаний является арифметический счет. Счет, как числовой ряд состоит из определенной последовательности чисел, в которой каждое последующее число больше предыдущего на одну единицу – и это уже само по себе является определенной ритмической закономерностью. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.
Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. Чтобы, например, к двум прибавить пять нужно от 2 переместиться на 5 единиц в сторону увеличения чисел – получаем 7. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон, если звукоряд восходящий. Соответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на полтона. Аналогично арифметическому действию мы можем вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду.
Определение интервала в музыке есть не что иное, как вычисление разности между двумя звуками. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.
Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию. Обычно мотив умещается в 1-2 такта, отрезок из 2-3 мотивов образует относительно законченное музыкальное построение, называемое фразой; 2 фразы образуют предложение, 2 предложения составляют законченный раздел, завершающийся кадансом и который называется периодом, который состоит в свою очередь из 8 или 16 тактов. Разные способы развития и сопоставления элементов мелодии образуют различные типы музыкальных форм. Так, последование 2 периодов образуют простую двухчастную форму, 3 раздела образуют сложную трехчастную форму. Существуют и другие музыкальные формы: тема с вариациями, куплетная форма, рондо, сонатная форма, фуга, смешанные формы. Но все они представляют собой определенную формулу музыкального построения, как, например, известная 12-тактовая формула классического блюза или формула построения джазовой пьесы. Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле
4. ОБОЗНАЧЕНИЕ И СООТНОШЕНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТЕЙ НОТ
За единицу измерения длительности берут так называемую «целую ноту», а все остальные длительности кратны целой. Т. е. каждая следующая нота получается в результате деления предыдущей на два 1/2, 1/4, 1/8 и т. д., при этом название ноты отражает отношение ее к целой (рис. 2).
Мы видим,что длительности получаются так же как дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Если перевести на язык математики: целая нота– это будет 1, половинная нота – это будет. По длительности она на половину короче целой. Чертветная нота – и т. д. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа,например:
Равенство здесь понимать в том смысле, что длительность слева равна суммарной длительности справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/16.
Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т. е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби,обозначающей размер: например, в размере 3/4 – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты.
Так, обозначение «Четвертная нота = 80» указывает, что в минуту должны прозвучать 80 четвертных долей (и соответственно – 40 половинных или 160 восьмых и т. д.). Причем, абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, от которого зависит замысел музыкального произведения.
Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Запишем первые 100 натуральных чисел в виде так называемого «Пифагорова Квадрата» (рис. 4). Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке совпадают первые числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – вторые.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Красным цветом в таблице (рис. 4) отмечены все числа, кратные 2.Ритм в расположении чисел кратных двум выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… Этот ритм соответствует размеру в музыке, т. е. цифра «2» лежит, прежде всего, в основе всей чёткой маршеобразной музыки.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Красным цветом в таблице рис. 4 отмечены все числа, кратные 3. Ритм в расположении чисел равных трём выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… Этот ритм соответствует правильному и красивому размеру в музыке, т. е. цифра «3» лежит в основе всех вальсообразных ритмов.
Существуют ли математические противоположности? Да, конечно.
• Отрицательное число – положительное число
• Четное число – нечетное число
В музыкесуществуют также противоположности:
Эта пара играет весьма важную роль в музыке. Если нам попробовать спеть быстрые песни медленно, а медленные быстро. Потеряется характер и смысл песен.
2. Высокое и низкое.
Некоторые инструменты устроены так, что из них можно извлекать либо только высокие, либо низкие звуки, например скрипка и контрабас.
4. Длинный – короткий.
5. Многоголосие – одноголосие.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Бореев Г. «Пифагор. Жизнь-как учение.»М. : Гиперборея, 2008.
3. Волошинов А. В. «Математика и искусство», М. : Просвещение, 2000.
4. Гейн А. Г., Касымов А. О. «Математика и музыка».
5. Математика и музыка: Методические указания для руководителей кружков/ Сост. И. А. Круглова; Под ред. В. Н. Сергеева.Омск: Омск. Ун-т, 1991.
7. Энциклопедический словарь юного музыканта, М. : Педагогика, 1985.