Аристотель что сделал в математике
Древнегреческий философ, учёный, преподаватель Аристотель родился в городе Стагир (морской порт греческой колонии в Македонии) в 384 году до н.э. Его отец Никомах работал придворным врачом македонского царя Аминты III, отца Филиппа II и деда Александра Македонского. Так Аристотель оказался при царском дворе могущественной в те времена Македонии. Искусство врачевания было наследственным в семье Аристотеля, и с ранних лет отец обучал его основам медицины. К сожалению, юный учёный в возрасте 10 лет остался без отца и попал под опеку своего дяди Проксена. Тот обучил его греческому, риторике и поэзии, а когда Аристотелю исполнилось 17 лет, отправил его учиться в Афины. В Афинах он поступает в знаменитую Платоновскую академию и остаётся в ней вплоть до своего 37-летия. Из ученика он становится учителем, а после смерти Платона его кандидатура становится главной на место главы Академии. Но из-за изменившихся взглядов на науку и научную деятельность, Аристотель уезжает на остров Лесбос, где вместе с Теофастом занимается исследованиями по ботанике и биологии. Здесь Аристотель женится на Пифиаде, приёмной дочери могущественного правителя города Атарнеи (территория современной Турции), и у них рождается дочь, названная в честь матери.
Вскоре Аристотель возвращается в Македонию. Будучи близким другом Филиппу II, который к тому времени уже стал царём Македонии, Аристотеля с радостью принимают ко двору. В 343 году до н.э. по личной просьбе царя учёный становится учителем его старшего сына – Александра Македонского. Аристотель дал Александру классическое греческое образование, уделял большое внимание изучению политики, литературы и философии. Многие источники подтверждают, что будущий правитель получил действительно блестящее образование, был превосходно эрудирован.
В 335 году до н.э. Аристотель вновь возвращается в Афины и основывает здесь свою школу – Ликей (или Лицей). Интересно, что учеников Аристотеля по-гречески называли «перипатетики», что значит «прогуливаться», так как учёный любил проводить свои лекции, прогуливаясь по саду при школе. Время, проведенное в Афинах, традиционно считается самым продуктивным его периодом в научном плане. Здесь появились его работы по философии, этике, политике, математике, астрономии, анатомии и многим другим наукам.
Однако отдельных трактатов по математике Аристотель не писал. По его теории деления наук математика занимает промежуточное положение между физикой и философией и включает в себя астрономию, механику, оптику и учение о гармонии – науки, в которых главную роль играют закономерности и разного рода количественные отношения. Поэтому Аристотель использовал математику и математические методы для раскрытия своих философских воззрений. Он не сделал значительного и уникального вклада в математику, но именно на основе логики Аристотеля в XIX веке появилась математическая логика, которая успешно используется современными учеными.
Традиционная или формальная логика Аристотеля дошла до нас в философском сборнике сочинений «Органон» в шести книгах. В «Органоне» Аристотель представляет свой взгляд на свойства любого объекта – сущность, положение, отношение, количество, качество, действие и другие. Особый интерес представляют книги «Первая аналитика» и «Вторая аналитика» (3 и 4 книги сборника соответственно). В «Первой аналитике» Аристотель излагает учение о силлогизме (о составлении умозаключения из двух суждений), во второй – теорию доказательств, в которой и раскрываются взгляды учёного на логику. Аристотель использует такие виды рассуждений как дедукция, индукция, доказательство на основе примера, отведение. В современной науке то, что подразумевал учёный под «аналитикой», получило название аристотелевская логика.
Большой вклад Аристотель привнёс в понятие бесконечности. Он указал 5 источников, через которые мы можем узнать о бесконечности: время, понятие границы и выход за её пределы, разделение величин, неиссякаемость творящей природы, постоянное движение мысли. Как писал он в своей книге «Физика», «всегда возможно придумать большее число, потому, что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела». При этом он делит бесконечность на потенциальную и актуальную: потенциально любое деление можно произвести бесконечно много раз; актуальная же бесконечность подразумевает под собой реальное существование каких-либо бесконечных вещей. Интересно, что в действительности учёный отрицал существование актуальной бесконечности в материальном мире, но считал таковым время. Позднее идея Аристотеля о бесконечности получила распространение в математике, физике и философии.
Конечно, главными заслугами Аристотеля считаются его философские сочинения о душе, познании, этике и политике. Его всесторонняя философия охватывает все сферы человеческой жизни – до него никто не решался взяться за столь фундаментальную работу. Неудивительно, что учение Аристотеля до сих пор имеет своё влияние на многие научные сферы – от естественных наук до политики и теологии. Как уже было сказано выше, становление формальной логики стало заслугой Аристотеля, который первый изложил учение о категорическом силлогизме.
Пока Аристотель продолжал свою научную деятельность в Афинах, его ученик Александр Македонский, ставший к тому времени уже царём и активно занимавшийся расширением своей империи, ощущал, по свидетельствам приближенных, приступы паранойи. Он писал письма с угрозами своему учителю, на которые тот отвечал холодностью и даже презрением. Вскоре, в 323 году до н.э., Александр погибает в Вавилоне. Спустя некоторое время начинается всплеск анти-македонских настроений в Афинах, и Аристотель уезжает в Халкиду, Греция. Здесь он и умер в 322 году до н.э. в возрасте 62 лет от естественных причин, назначив своего ученика Антипатра своим преемником и завещав, чтобы его похоронили рядом со своей любимой женой, которая умерла несколькими годами ранее.
Фигура Аристотеля, несомненно, является значимой в истории науки. В жизни учёного происходило множество событий, которые повлияли на его научную деятельность. Его школа, знаменитые ученики, глубокие исследования в разных научных сферах сделали его легендарной личностью уже при жизни. Ведь не зря именно Аристотель был выбран учителем одного из величайших царей античного мира Александра Македонского! До наших дней дошло большое количество произведений самого учёного, записей его учеников и последователей. По ним мы можем познакомиться не только с его взглядами на важные философские вопросы, но и узнать интересные факты о жизни Аристотеля. Так, например, многие биографы отмечали экстравагантную внешность учёного, его любовь к нарядной одежде и украшениям, а также писали о его живой мимике, жестах и поведении в целом.
В честь Аристотеля назван крупнейший университет на Балканах, который располагается в Салониках. Там же находится центральная площадь города, носящая имя великого учёного. В честь вклада Аристотеля в развитие биологии, в 1784 году род двудольных растений получил название Аристотелия. А так же один из лунных кратеров и астероид были названы в честь учёного.
Философия математики Аристотеля
К. Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) «величайшим философом древности». Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков.
Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела: «образованность» и «научное знание дела». Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний.
Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристотелю, является обучение, которое «основано на (некотором) уже ранее имеющемся знании… Как математические науки, так и каждое из прочих искусств приобретается (именно) таким способом». Для отделения знания от незнания Аристотель предлагает проанализировать «все те мнения, которые по-своему высказывали в этой области некоторые мыслители» и обдумать возникшие при этом затруднения. Анализ следует проводить с целью выяснения четырех вопросов: «что (вещь) есть, почему (она) есть, есть ли (она) и что (она) есть».
Основным принципом, определяющим всю структуру «научного знания дела», является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всего из начал. Универсальным процессом производства знаний из начал, согласно Аристотелю, выступает доказательство. «Доказательством же я называю силлогизм, — пишет он, — который дает знания». Изложению теории доказательного знания полностью посвящен «Органон» Аристотеля. Основные положения этой теории можно сгруппировать в разделы, каждый из которых раскрывает одну из трех основных сторон математики как доказывающей науки: «то, относительно чего доказывается, то, что доказывается и то, на основании чего доказывается». Таким образом, Аристотель дифференцированно подходил к объекту, предмету и средствам доказательства.
Существование математических объектов признавалось задолго до Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они находятся в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их существующими отдельно. Согласно Аристотелю:
1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как «находиться в том же самом месте два тела не в состоянии»;
2. «Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно».
Аристотель считал предметом математики «количественную определенность и непрерывность». В его трактовке «количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых… является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить». Множеством при этом называется то, «что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные». Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как «оно относится к категории количества» и проявляется прежде всего в непрерывном. «Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее.
Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель определяет непрерывность и прерывность. Так, «непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его». Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов — единиц. Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образовать линию, так как «точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга». Но непрерывными они не будут: «ведь края точек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части». Точки не могут и касаться друг друга, поскольку касаются «все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного».
Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходимость его деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель распространяет на движение, пространство и время, обосновывая (например, в «Физике») правомерность этого шага. С другой стороны, он приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.
«Началами… в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять, другое — следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина существует, также следует принять, другое — доказать». В вопросе о появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о врожденности таких способностей, но и не допускает возможности приобретения их; здесь он предлагает следующее решение: «необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности». Но такая возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется чувственным восприятием. Формирование начал идет «от предшествующего и более известного для нас», то есть от того, что ближе к чувственному восприятию к «предшествующему и более известному безусловно» (таким является общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из разных признаков.
Во-первых, он выделяет «начала, из которых (что-либо) доказывается, и такие, о которых (доказывается)». Первые «суть общие (всем начала)», вторые — «свойственные (лишь данной науке), например, число, величина». В системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как «среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать все». Этим и объясняется, что среди начал должны быть «одни свойственны каждой науке в отдельности, другие — общие всем». Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.
Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную, выделяют ее из ряда других наук. «То, что доказывается», можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям, охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.
Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом; ведь «если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?» — писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.
Описание презентации по отдельным слайдам:
Основные вопросы: 1. Биография Аристотеля. 2. АРИСТОТЕЛЬ В АФИНАХ. 3. ФИЛОСОВСКАЯ ШКОЛА. 4. ЛИКЕЙ. 5. ПОКИДАНИЕ АФИН. 6. ПОСЛЕДНИЕ МЕСЯЦЫ ЖИЗНИ. 7. ТРУДЫ АРИСТОТЕЛЯ.
Биография. Аристотель, называемый также Стагирит по месту рождения (384, Стагир — 322 до н.э., Халкида на Эвбее) — древнегреческий философ и учёный. Отец его Никомах и мать Фестида были благородного происхождения. Никомах Рано потеряв родителей, Аристотель отправился сначала в Атарней, в Малой Азии, а затем, на 18 году — в Афины, где прожил целые 20 лет. Там, под влиянием Платона, лекции которого Аристотель так же усердно слушал, как изучал его сочинения, дух ученика развился так быстро и мощно, что он скоро занял самостоятельное положение относительно своего учителя.
АРИСТОТЕЛЬ В АФИНАХ. В 367, в возрасте семнадцати лет, Аристотель отправился в Афины, где стал учеником Академии Платона. Через несколько лет Аристотель сам начал преподавать в Академии, стал полноправным членом содружества философов-платоников. В течение двадцати лет Аристотель работал вместе с Платоном, но был самостоятельным и независимо мыслящим ученым, критически относился к воззрениям своего учителя.
ФИЛОСОВСКАЯ ШКОЛА. После смерти Платона в 347 Аристотель выходит из Академии и переселяется в город Атарней (Малая Азия), которым правил ученик Платона Гермий. После смерти Гермия в 344, Аристотель жил в Митилене на острове Лесбос, а в 343 македонский царь Филипп II пригласил ученого стать учителем своего сына Александра. После того как Александр взошел на престол, Аристотель в 335 вернулся в Афины, где основал собственную философскую школу.
ЛИКЕЙ. Местом школы стал гимнасий неподалеку от храма Апполона Ликейского, поэтому школа Аристотеля получила название Ликей. Читать лекции Аристотель любил, прогуливаясь с учениками по дорожкам сада. Так появилось еще одно название Ликея — перипатетическая школа (от перипато — прогулка). Представители перипатетической школы помимо философии занимались и конкретными науками (историей, физикой, астрономией, географией).
ПОКИДАНИЕ АФИН. В 323 после смерти Александра Македонского в Афинах начался антимакедонский мятеж. Аристотеля, как македонца, не оставили в покое. Его обвинили в религиозном непочитании, и он был вынужден покинуть Афины.
ПОСЛЕДНИЕ МЕСЯЦЫ. Аристотель переселился в Халкис на Эвбее, куда за ним последовало множество учеников. Спустя несколько месяцев умер от болезни желудка в 322 г. до н. э.
Философия математики. Согласно Аристотелю: 1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как «находиться в том же самом месте два тела не в состоянии»; 2. «Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно». В его трактовке «количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых… является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить». Множеством при этом называется то, «что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные». Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как «оно относится к категории количества» и проявляется прежде всего в непрерывном.
ТРУДЫ АРИСТОТЕЛЯ. В трудах Аристотеля отразился весь научный и духовный опыт Древней Греции, он стал эталоном мудрости, оказал неизгладимое влияние на ход развития человеческой мысли.
Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле. АРИСТОТЕЛЬ.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1045620
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минпросвещения РФ опубликовало методические рекомендации по проведению инклюзивных смен для детей с ОВЗ
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России
Время чтения: 3 минуты
В России отцы охотнее дают деньги детям на карманные расходы, чем матери
Время чтения: 2 минуты
Минобрнауки планирует учредить стипендию для студентов-философов
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация на тему «Математическая философия Аристотеля»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Преподаватель математики Кисель О.В. ГОБ ПОУ «Октябрьское техническое училище» Презентация на тему « Математическая философия Аристотеля»
Аристотель разделял философию на три части — теоретическую, практическую и творческую, а инструментом, с помощью которого ведется исследование, является логика (греч. «органон» — орудие, инструмент). Теоретическая философия имеет дело с истиной и целью ее является знание ради самого познания, потому она свободна и «бескорыстна», в отличие от практической философии, нацеленной на совершение добродетельных поступков и оперирующей не с понятиями истина — ложь, а с понятиями добро — зло. Целью творческой философии является творчество (сюда Аристотель относил в первую очередь искусство словесное — риторику и поэтику). Теоретическую философию составляют три дисциплины: физика, математика и первая философия (или теология). Данное деление соответствует делению сущностей, изучаемых каждой из этих наук: физика изучает телесные самостоятельные, но изменяющиеся сущности, математика изучает мыслимые, неподвижные, вечные, но несамостоятельно существующие сущности, первая же философия изучает мыслимые, неподвижные и самостоятельные сущности.
Логика и методология. Логическое учение Аристотеля последовательно рассматривает отдельное имя (Категории), суждение как связь имен (Герменевтика), доказательство как особая связь суждений (Аналитики — научная силлогистика, Софистические опровержения — диалектическая силлогистика). В первом трактате корпуса Аристотель определяет десять основных категорий (предикатов), с помощью которых происходит описание и выяснение смысла предмета: сущность, количество, качество, место, время, отношение, состояние, обладание, действие, страдание. Аристотель вошел в историю как создатель научной силлогистической логики. Доказательство — силлогизм — есть специфический метод науки, в отличие от опыта и искусства, основанных преимущественно на наблюдении. Те первоначала, из которых исходит силлогизм, сами недоказуемы и могут быть даны только в непосредственном умосозерцании или из опыта путем индуктивного обобщения. Знание связано со знанием первопричин вещи. Аристотелевское противопоставление «первое для нас» и «первое по природе» связано с противопоставлением вещей, более понятных и очевидных «нам» как познающим субъектам — а таковы вещи единичные, воспринимаемые чувствами, сложные по своему составу — и вещей, менее понятных для нас, но более близких к фундаментальным основам бытия, «первым по природе». По Аристотелю, таково простое, общее, постигаемое разумом, а не чувствами. Таковы начала и причины.
К. Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н. э.) «величайшим философом древности». Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела: «образованность» и «научное знание дела». Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний.
Существование математических объектов признавалось задолго до Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они находятся в чувственных вещах, платоники же, наоборот, считали их существующими отдельно. Согласно Аристотелю: 1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как «находиться в том же самом месте два тела не в состоянии»; 2. «Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно». Аристотель считал предметом математики «количественную определенность и непрерывность». В его трактовке «количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых… является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить». Множеством при этом называется то, «что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные». Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как «оно относится к категории количества» и проявляется прежде всего в непрерывном. «Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее.
Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель определяет непрерывность и прерывность. Так, «непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его». Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов — единиц. Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образовать линию, так как «точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга». Но непрерывными они не будут: «ведь края точек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части». Точки не могут и касаться друг друга, поскольку касаются «все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного». Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходимость его деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель распространяет на движение, пространство и время, обосновывая (например, в «Физике») правомерность этого шага. С другой стороны, он приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.
Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом; ведь «если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?» — писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.
В своих физических трактатах предлагает универсальную схему четырех причин, которая играет важную роль как в физике, так и в метафизике: формальная причина (что это?), материальная причина (из чего состоит?), движущая причина (откуда произошло?), целевая причина (ради чего существует?). Природа есть причина всего существующего по природе, искусство — причина всех рукотворных вещей; основное отличие сущего по природе в том, что оно существует «для себя», а цель сущего согласно искусству всегда установлена его создателем и, таким образом, является внешним по отношению к его сущности.
Первая философия (метафизика). Теоретическая философия (или первая философия в отличие от второй — физики) изучает бытие как таковое, т. е. сущность, причем в связи с разделением сущего на природные и искусственные вещи, первую философию интересуют сущности природные, самоцельные и самоценные. Сущность интерпретируется двояко: как отдельное нечто и как мыслимая суть каждой вещи, последнее значение передается понятием «чтойности» (греч. «то, чем было бытие»). Иерархия сущностей (в первом смысле) выстраивается в зависимости от их способности быть носителями также и сущностного содержания во втором смысле. Чем меньше в сущности «материального» (возможного, динамического) и чем больше в ней «формального» (действительного, энергийного), тем более мы приближаемся к идеалу, к совпадению сущности и существования. В неологизме «энтелехия» выражено совпадение формального и телеологического причинного ряда: уже в самом факте деятельности дано осуществление задачи данной деятельности (например, глаз видит уже когда он смотрит, а строитель не сразу построил дом, когда он приступил к его строительству). Совпадение результата и процесса деятельности имеет место для чистого ума, мыслящего наилучший предмет мысли — себя самого. Этот божественный ум лишен материи и именно поэтому в нем нет ничего возможного — он чистая деятельность созерцания, чистая мысль и, таким образом, полнота бытия.
Этика и политика образуют единую практическую часть философского знания, предметом которой становится благо, осуществимое в поступках: этика рассматривает благо и благополучие отдельного человека, политика — благо гражданского сообщества (государства). Этическое учение изложено в трех текстах — Никомаховой этике, Евдемовой этике и Большой этике, из которых традиционно бóльшим авторитетом пользуется первая. Высшее человеческое благо определяется как счастье, однако сам Аристотель указывает, что разные люди по-разному его понимают: то ли счастье заключено в материальных благах, то ли в уважении и почете, то ли в добродетельной жизни. Строя свою этику на понимании счастья как внутренней жизни (деятельности) души, стремящейся достичь наилучшего состояния как в отношении своего характера и нрава («этические добродетели»), так и в отношении своих умственных способностей («дианоэтические добродетели»), дает определение счастья как деятельности души в полноте добродетелей.
Это в первую очередь добродетели души, но учитываются также и телесные блага. Они признаются желательными в той мере, в какой телесное не должно мешать и препятствовать духовному — так, если человек болен, он едва ли сможет упражняться в добродетели, если он беден, он не сможет проявить щедрость и т.д. Применительно к этическим добродетелям развивает учение о середине (напр., мужество есть середина между трусостью и безумной отвагой), но для дианоэтических добродетелей нет ничего противоположного, кроме глупости. Дианоэтические добродетели направлены к познанию истины (нус) или к установлению «правильного логоса», или суждения, устанавливающего добродетельную середину в практических нравственных поступках для каждого отдельного случая. Вообще, Аристотель говорит, что для каждого добродетельная середина своя (как для каждого свое количество съедаемой пищи, необходимое для здоровья), и, например, мужественный поступок для бывалого воина и для неопытного юнца представляет собой не одно и то же поведение.
В Политике излагает теорию государства, исходя из понимания человека как «по природе существа политического», т. е. склонного к общению на разных уровнях от языкового и семейного до высшей формы общения — государственной, определяющей особенностью которого является подчиненность нормам закона. Аристотель спорит с платоновской идеей упразднения семьи как части упразднения традиционного государства, настаивая на необходимости следовать природе, традиции и мнению большинства в том, что касается общественных институтов. Связь этики и политики подчеркивается в идее о том, что основной задачей государства является воспитание добродетельного человека и гражданина. Аристотель представляет свое учение об оптимальном государственном строе, которое он связывает с правлением лучших, и особенностью которого являются различные обязанности граждан в разное время жизни: в молодости — военная служба, в зрелом возрасте — дела государственного управления; земледелие, ремесла и вообще всякий физический труд остается уделом рабов, этнических варваров, не-греков, — рабство существует «от природы» и в смысле рождения, и в смысле особого устройства души, неразвитой умственно и не готовой руководствоваться в своей жизни разумом.
Философия Аристотеля явилась одним из вершинных достижений античной мысли и оказала существенное влияние как на последующую историю философии в античности (от эллинизма до неоплатонизма), так и на философию средневековья (аристотелизм в арабской и западной традиции).