как доказать что оператор линейный

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу

Подскажите, с чего начать?

Доказать, что А – линейный оператор, найти его матрицу в базисе и в базисе e1, e2, e3.

A(x)=(x3, x3-x2+x1, x3-2×2); e1=(2,-1,1), e2=(3,1,-1), e3=(0,4,-2).

Доказательство попробую сам, а вот остальное.

Доказать, что существует единственный линейный оператор
Здравствуйте, добрый вечер. Доказать, что существует единственный линейный оператор, переводящий.

Доказать что векторы образуют базис. Найти его размерность
Здравствуйте. Наведите на мысли по поводу решения данной задачи. Спасибо. :senor: Правила.

Спасибо, что подсказали, у меня получилось следующее:

Если у Вас есть время и возможность проверить, буду благодарен.

Добавлено через 3 часа 31 минуту
Сейчас напишу, как считал, минут 7 подождите.

2. Составил матрицу перехода из векторов e1,e2,e3, чтобы не путаться, вместо T назовем ее S:

3.Нашел определитель S, разложив его по элементам первой строки, получил 10

5. Нашел матрицу алгебраических дополнений:

6. Нашел транспонируемую матрицу алгебраических дополнений:

7. Нашел обратную матрицу:

Матрица А должна быть транспонированной к той, которую вы написали: воздейтвие линейного оператора на вектор есть умножением матрицы А на вектор-столбец. По-вашему, должно выйти

Разве такие координаты вам даны по условию при воздействии оператора?
Не было необходимости так подробно расписывать нахождение обратной матрицы, с этим вполне справляются и матпакеты. Нужна была только формула, по которой вы искали В, т.е. только пункт 8.

Источник

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

,	(2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Источник

Как доказать что оператор линейный

7. 1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1) А А + А (свойство аддитивности);

2) А А (свойство однородности).

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

2. ( А + В ) + Е = А + ( В + Е ).

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А . При этом если А только при , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что А , то оператор А – вырожденный.

Источник

Линейный оператор

Содержание

Линейный оператор [ править ]

Примеры [ править ]

Тождественный оператор [ править ]

[math]I \colon X \to X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]

Линейный оператор проектирования [ править ]

[math]\mathcal

_^ <||L_2>\colon X \to L_1[/math]

[math]\mathcal

_^ <||L1>\colon X \to L_2[/math]

NB: [math]\mathcal

_>^<||L_<2,1>>\colon X \to X[/math] ( [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] — п.п. [math]X[/math] )

Оператор дифференцирования [ править ]

[math]\mathcal \colon P_n \to P_[/math] по формуле [math](\mathcalp)(t)= = p^<'>(t)[/math]

Интегральный оператор [ править ]

[math](\mathcalf)(s) = \int\limits_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]

[math]\mathcal \colon C(a,b) \to C(a,b)[/math]

Матрица линейного оператора [ править ]

Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \_^n, \dim X=n[/math]

Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \_^m, \dim Y = m[/math]

[math] A= \begin \alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\ \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\ \end [/math]

Примеры [ править ]

Нулевой оператор [ править ]

[math] \mathcal_<[m \times n]>= \begin 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end [/math]

Оператор дифференцирования [ править ]

[math]\mathcal \colon P_n \to P_[/math]

[math] D= \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end [/math]

Теорема об эквивалентности задания линейного оператора [ править ]

[math] \Leftarrow x= \sum\limits_^ \xi^i e_i [/math] (единственным образом)

Источник

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Линейный оператор

Примеры линейных операторов

Бóльшую часть примеров пункта ☞ ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ представляют именно линейные операторы. Укажу еще несколько, к которым буду часто обращаться.

Пример 4. Задачу интерполяции можно интерпретировать как построение некоторого отображения. В интерполяционной таблице

По аналогии с задачей алгебраической интерполяции, можно поставить и задачу тригонометрической интерполяции. Имеем здесь «точку входа» в теорию дискретного преобразования Фурье. ♦

Основные определения

Теорема 2. Имеет место равенство:

Не всякий оператор обратим.

Показать, что обратным для оператора

Сформулируем еще один результат, являющийся частным случаем приведенного в пункте ☞ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

Матрица оператора

Как изменяется матрица оператора при переходе к новому базису?

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Иными словами: «физический» смысл определителя оператора заключается в том, что модуль его значения представляет коэффициент расширения 4) объема (в настоящем примере — площади) тела (соответственно, плоской фигуры) под воздействием этого оператора.

Теорема 5. Оператор обратим тогда и только тогда, когда когда его определитель отличен от нуля.

Теорема 7. В любом базисе пространства

б) матрица произведения операторов совпадает с произведением матриц этих операторов 5) ;

в) коммутирующим операторам соответствуют коммутирующие матрицы;

Матрица оператора и матрица перехода от базиса к базису

«Физический» смысл этих понятий различен. Образно говоря, если рассматривать оператор как процесс (точнее: установленную связь между входными и выходными значениями процесса), то выбор базиса можно интерпретировать как выбор точки зрения на этот процесс (можно трактовать эти слова как формализацию выражения «рассмотрим этот процесс под другим углом»).

Матрица оператора проецирования

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

Матрица оператора отражения (оператора Хаусхолдера)

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

Инвариантное подпространство

Нас будут интересовать нетривиальные инвариантные подпространства.

Пример. Оператор

Пример. Оператор

Доказать, что сумма двух инвариантных подпространств является инвариантным подпространством.

Собственное число и собственный вектор

Задача. Найти одномерные инвариантные подпространства оператора.

Пример. Оператор

Анимация процесса ☞ ЗДЕСЬ (1500 Kb, gif).

Теорема. Любой собственный вектор оператора порождает его одномерное инвариантное подпространство, и обратно: любой ненулевой вектор одномерного инвариантного подпространства оператора является собственным вектором.

Задача. Для произвольного оператора выяснить условия существования его собственного числа и разработать конструктивный метод его нахождения.

Теорема. В комплексном линейном пространстве любой оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Пример. Применим полученный результат для получения альтернативного решения предыдущего примера.

Теорема. Характеристические полиномы подобных матриц одинаковы.

Теорема [Гамильтон, Кэли]. Результатом подстановки оператора в собственный характеристический полином будет нулевой оператор.

Пример. Для рассмотренного в предыдущих примерах оператора

Диагонализуемость матрицы оператора

Теорема 1. Собственные векторы оператора, принадлежащие различным собственным числам, линейно независимы.

Теорема позволяет сформулировать достаточное условие диагонализуемости.

Теорема 3. Если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, то матрица оператора диагонализуема.

В случае наличия у характеристического полинома оператора кратного корня, анализ оператора на возможность диагонализуемости его матрицы усложняется.

Теорема 5. Матрица оператора диагонализуема тогда и только тогда, когда для каждого ее собственного числа алгебраическая кратность равна геометрической кратности:

Диагонализуемость матрицы оператора над полем вещественных чисел

Жорданова нормальная форма

Задачи

Источники

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960

[3]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989

[4]. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.Наука. 1965

Источник