как узнать количество нулей
Названия больших чисел
Существует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа состоят из цифр. Число 52 состоит из двух цифр: 5 и 2. Числа с 1 впереди и последующими нулями имеют названия. Всем известны: 10 — десять, 100 — сто, 1000 — тысяча, 1 000 000 — миллион. Так как большие числа с большим числом нулей записывать неудобно, используют сокращения в виде степеней: запись 10 11 означает число с 11-ю нулями, запись 10 52 означает число с 52-мя нулями и т.д. Приведем названия чисел с десятками и сотнями нулей.
Названия «круглых» чисел, которые можно встретить в школьной программе:
1 000 000 — миллион (6 нулей)
1 000 000 000 — миллиард или биллион (9 нулей)
1 000 000 000 000 — триллион (12 нулей)
1 000 000 000 000 000 — квадриллион (15 нулей)
1 000 000 000 000 000 000 — квинтиллион (18 нулей)
1 000 000 000 000 000 000 000 — секстиллион (21 нуль)
1 000 000 000 000 000 000 000 000 — септиллион (24 нуля)
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — октиллион (27 нулей)
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — нониллион (30 нулей)
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 — дециллион (33 нуля)
Еще некоторые примеры интересных названий:
10 100 — гугол, googol (100 нулей)
10 10 100 — гуголплекс, googolplex (десять в степени гугол)
10 140 — асанкхейя, asankhyeya или сто квинквадрагинтиллионов
10 303 — центиллион, centillion
10 3003 — миллиллион, millillion
10 3000003 — милли-миллиллион, milli-millillion
Самого большого числа в мире не существует, так как любое большое число всегда можно увеличить, умножить, возвести в степень, и получится другое большее число. Бесконечность не является числом.
Из известных самых больших чисел, имеющих название (математическое доказательство) можно выделить: число TREE(3), число SCG(13), число Лоудера, число Мозера, число Скьюза, число Райо, число Грэма, инфитеиплеон.
Таблица больших чисел с указанием количества нулей и названиями на русском и английском.
Подсчет конечных нулей факториала числа в любой системе счисления
Как я могу посчитать количество конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления?
Давайте рассмотрим случай, когда мы находимся в 10-й системе счисления, а затем посмотрим, как мы можем обобщить это в универсальное решение. Нам дано число N и для его факториала нужно найти количество конечных нулей. Решение будет довольно простым — сумма:
Её мы можем обобщить в такую формулу:
Почему 5? Это просто. Конечный ноль получается только тогда, когда в составе факториала число имеет 10. Таким образом, посчитав количество десяток в факториале, мы узнаем количество конечных нулей.
Почему в примере выше мы делим на 5? Потому что 10 может быть получено умножением 5 на 2. Поэтому полное решение будет иметь две формулы:
Но, рассуждая логически, мы знаем, что первая сумма будет меньше, поэтому нам нужно посчитать только её (подробнее можно почитать тут).
Решение нашей проблемы
Для подсчёта конечных нулей факториала числа в определенной системе счисления я составил алгоритм, приведенный ниже:
Но двойка встречалась дважды при разложении 12-и, поэтому конечный результат мы делим на 2 и округляем до меньшего целого. В результате получаем 1.
Проделываем тоже самое с 3:
Таким образом, мы получили два частных от делений числа N на простые множители числа системы счисления. Они оба равны 1, поэтому меньшее нам выбирать не приходится и мы просто даем ответ — 1.
Рассмотрим еще один пример.
Пусть число N = 16, система счисления B = 16. Факториал 16! = 20922789888000, а 20922789888000 в 16-ой системе — 130777758000. Мы видим, что в конечной системе счисления факториал исходного числа имеет три ноля. При разложении 16 на простые множители, получим 2, 2, 2, 2. Здесь у нас только одно уникальное число, поэтому пункт 2 выполняется только один раз:
При разложении у нас было четыре двойки, поэтому сумму делений делим на 4 с округлением до меньшего целого: 
Найти количество нулей во всех числах последовательности
Условие задачи 0.4
Задача 0.4
Дана последовательность чисел, заданная пользователем. Найти количество нулей во всех числах последовательности.
В этот раз решил немного отойти от традиций и решить задачу на нескольких языках. А именно: 1) Паскаль; 2) С++; 3) JavaScript; 4) VBScript; 5) VBA.
ПРИМЕЧАНИЕ
Скачать исходные коды всех примеров можно здесь.
Как найти количество нулей в строке
В заголовке, в общем то, отражена суть решения задачи. Нам надо просто подсчитать количество нулей в строке, которую ввёл пользователь.
Для решения лучше всего создать функцию, которая будет принимать строку, а возвращать количество нулей в этой строке. Далее привожу примеры такой функции на нескольких языках.
Пример на Паскале
Пример на С++
Пример на JavaScript
Пример на VBScript и VBA
В JavaScript я использовал поле ввода. Как это делается, я рассказал здесь.
В VBScript я использовал диалоговое окно для ввода данных. Подробно об этом я рассказал в книге Как стать программистом.
Пользователь вводит данные в ячейку таблицы Excel, а макрос на языке VBA читает данные из этой ячейки и подсчитывает количество нулей. Итог расчета выводится в другую ячейку.
Что из всего этого получилось, см. на рисунках.
ВНИМАНИЕ!
Если вам что-то осталось непонятно в примерах на Паскале, С++ и JavaScript, то советую почитать книги “Основы программирования”, “Основы С++” и “Что такое JavaScript”.
Сколько нулей в конце факториала 100?
Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:
100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1
Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.
387 000 х 12 900 = 5 027 131 727
Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:
10 х 10 = 100
7 х 20 = 140
30 х 400 = 12 000
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует.
Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:
2 х 5 = 10
5 х 8 = 40
6 х 15 = 90
8 х 125 = 1000
Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.
Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».
В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.
8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5)
= (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5)
= 10 х 10 х 10
= 1000
Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.
Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:
692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,
692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).
Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?
Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.
В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?
Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:
93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.
Найти количество нулей в двоичном числе
Условие задачи 2.145
Задача 2.145
Дан массив А, состоящий из N натуральных чисел. Вывести на экран количество чисел, которые в двоичном представлении содержат два нуля.
Представляю вашему вниманию очередную задачу по программированию. Условие, надеюсь, вы прочитали. Ну а теперь попробуйте сначала решить задачу самостоятельно, а потом посмотрите мои решения.
Итак, сначала нам нужен массив натуральных чисел. В этот раз я не буду заморачиваться со случайными значениями, а просто заполню массив некоторым количеством чисел от 0 до 15.
Потом нам надо перебрать весь этот массив и значение каждого из его элементов преобразовать в двоичное число в строковом представлении, ну а потом уже посчитать количество нулей в этой строке.
Преобразовать число в строку, содержащую его двоичное представление, можно с помощью функции binStr. Ну а для подсчёта нулей в этой строке мы создадим свою функцию:
Думаю, что какие-то дополнительные пояснения давать нет смысла, потому как всё достаточно просто и описано в комментариях. Осталось привести примеры программ на Паскале и С++.
Ну а на экране вывод программы будет выглядеть примерно так:
ВНИМАНИЕ! Если вам что-то осталось непонятно, то советую почитать книги “Основы программирования” и “Основы С++”.