как узнать площадь части круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Длина окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Источник

Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.

Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.

Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Сектор круга

Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:

Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.

Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?

Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:

Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.

После сокращения дроби получают формулу:

Примеры решения задач

Задача №1

Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.

Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:

Задача №2

Подставив известные данные в формулу, получим:

Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:

Площадь сектора круга через радиус и угол сектора

Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:

Задача №3

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

Центральный угол изображённого сектора равен

Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:

Также аналогичным образом решаются обратные задачи.

Площадь сектора круга через угол сектора в радианах

Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что

несложно получить искомую формулу:

Задача №4

Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?

Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:

Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:

С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:

Сегмент круга

Существует два подхода к определению понятия:

Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.

Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.

Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.

Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.

Площадь сегмента круга по хорде и высоте

Тогда можно приближённо считать, что

Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением

В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,

погрешность оказывается менее 1%.

Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:

Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.

Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).

Отсюда следует, что

Задача №5

Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а

Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).

Отсюда следует, что:

Площадь по первой формуле будет приблизительно равна

Источник

Площадь круга (ЕГЭ 2022)

Существует множество сложных задач о площади круга и его частей: секторов, сегментов, пересечений.

После прочтения этой статьи они станут для тебя простыми!

А еще посмотри задачи на окружности (ЕГЭ 16) из нашего курса подготовки.

Площадь круга – коротко о главном

Основные формулы:

Правило нахождения нестандартной части круга:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Площадь круга – подробнее

\( \displaystyle R\) – радиус,
\( \displaystyle \pi \) – число \( \displaystyle \approx 3,1415\)

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что…

…площадь круга радиуса \( \displaystyle R\) ровно (!) в \( \displaystyle \pi \) раз больше площади квадрата со стороной \( \displaystyle R\).

Ну вот, а теперь – площадь части круга.

Площадь сектора круга

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

где \( \displaystyle a \) – величина угла сектора в радианах (т.е. в числах \( \displaystyle \frac<\pi ><6>\), \( \displaystyle \frac<\pi ><4>\), \( \displaystyle \frac<\pi ><27>\) и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Площадь сегмента круга

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом.

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 4\) пересекаются по хорде, равной \( \displaystyle 2\).

Найти площадь общей части кругов.

Решение

Решение:

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром \( \displaystyle <_<1>>\).

\( \displaystyle \Delta A<_<1>>B\) – правильный \( \displaystyle \quad \Rightarrow \ \angle A<_<1>>B=\frac<\pi ><3>\,\, (<<60>^<\circ >>)\).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

А вот найти \( \displaystyle \angle A<_<2>>B\) уже сложнее.

Придется применять теорему косинусов!

Пример 2

На стороне \( \displaystyle AB\) треугольника \( \displaystyle ABC\) как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если \( \displaystyle AB=4\), \( \displaystyle \angle A=30<>^\circ \), \( \displaystyle \angle B=140<>^\circ \).

Решение

Проведем \( \displaystyle OD\).

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор \( \displaystyle BOD\) и \( \displaystyle \Delta AOD\).

\( \displaystyle \angle A=30<>^\circ \), значит \( \displaystyle \angle BOD=60<>^\circ \)

Нужно найти \( \displaystyle <_<\Delta AOD>>.\)

\( \displaystyle <_<\Delta AOD>>=\frac<1><2>AO\cdot OD\cdot sin\angle O=\) \( \displaystyle=\frac<1><2>\cdot 2\cdot 2\cdot sin120<>^\circ =\frac<2\sqrt<3>><2>=\sqrt<3>.\)

\( \displaystyle S=\frac<2><3>\pi +\sqrt<3>\).

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Перед вами вебинары, связанные с окружностями и 16 заданием ЕГЭ.

ЕГЭ 16 математика. Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года

Метод вспомогательной окружности – это очень классный метод, но, к сожалению, он не всегда очевиден.

Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!

Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы – те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.

Это очень крутой и удобный метод – но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.

ЕГЭ 16 Планиметрия Статград март 2021

Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.

Скучно… Раз-два, и ответ готов!

Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…

На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)

Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!

ЕГЭ 16. Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020

Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?

Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.

Никуда не деться от окружностей – остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!

В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?

Нет! Пойдём дальше – разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.

Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче).

Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники. Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Знаешь, что самое важное?

Что теперь ты знаешь намного больше, чем обычно рассказывают в школе. И я очень тобой горжусь.

Такие вещи очень полезно знать. Кто знает, вдруг подкрадется какая-нибудь задача про это? 🙂

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. А еще мы ответим на любые твои вопросы, если такие есть.

Напиши в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья? Все ли было достаточно подробно?

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Сережа
07 апреля 2019
Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой дугой) гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

Алексей Шевчук
04 сентября 2019
Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

Роберт
23 ноября 2019
Как найти площадь усеченной полу окружности?

Алексей Шевчук
24 ноября 2019
Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

Владислав
26 января 2020
Как найти площадь наложенных друг на друга секторов, с центрами внутри одной окружности?

Алексей Шевчук
27 января 2020
Владислав, не совсем понятно, это секторы одной окружности, то есть с общим центром? Или центры не совпадают?

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, как можно посчитать, сколько процентов площади первого круга затмил второй круг исходя из того, сколько части диаметра первого круга затмил второй круг? Сейчас почитал про предстоящее кольцеобразное солнечное затмение 21 июня 2020 года и мне стало интересно. Диаметры кругов могут немножко отличаться из-за периодического изменения расстояния до Солнца и до Луны (в максимуме этого затмения видимый диаметр Солнца будет 31′ 28,4″ (0,524(5)°), а Луны — 30′ 48″ (0,51(3)°)). https://heavens-above.com/SolarEclipse.aspx?jdmax=2459021.77865012 (вкладка “Местные условия”)

Алексей Шевчук
09 июня 2020
Нодир, можно. Углы, которые здесь написаны, пропорциональны диаметрам (а значит, и радиусам) кругов. Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов или диаметров (если поделить две формулы площади круга друг на друга, пи сокращается). Делим угловой диаметр Луны на Солнца, возводим в квадрат. Числа должны быть переведены в единицы измерения одного типа, например, в граусы: (0,513 / 0,525)^2 = 0.977^2 = 0.955 = 95.5%

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, спасибо за ответ, это тоже запомню, я хотел спросить о частичном затмении, которое у нас можно будет наблюдать. Луна подойдёт к Солнцу справа (с запада) и начинает его закрывать. В максимальной фазе Луна закроет 0,652 части диаметра Солнца (это величина (магнитуда) затмения) и 56,4% его площади (это максимальная фаза, %) (нижнюю часть Солнца). Центр Луны через центр Солнца у нас не пройдёт. Потом будет двигаться дальше налево (на восток) и выйдет из солнечного диска. Хотел поинтересоваться, а можно ли составить формулу для вычисления процента площади затмения исходя из величины (магнитуды) затмения. Я сам не школьник, я бухгалтер, и мне просто стало интересно. 🙂

Источник

• ← как узнать площадь цилиндра зная диаметр и высоту
• как узнать площадь через периметр →