Арифметические действия это что

Основные арифметические действия

Сложение

Сложение – одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.

Запись сложения: 8 + 3 = 11

Вычитание

Вычитание – действие, обратное сложению.

Умножение

Умножение – арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 12 × 5 = 60 или 12 • 5 = 60

12 × 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

В случае если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например:

2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

Деление

Деление – арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8

В случае, когда делимое не делится полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком, это отыскание наибольшего подходящего целого числа, которое в произведении с делителем дает нужное число, не превышающее делимое.

Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, которое всегда меньше делителя.

Возведение в степень

Возведение степень – операция умножения числа на самого себя несколько ( n ) раз.

Основание степени называется число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показателем степени называется число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, получаемое в результате взаимодействия основания и показателя степени.

3 – основание степени

4 – показатель степени

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня

Извлечение корня – арифметическое действие, обратное возведению в степень.

81 – подкоренное число

4 – показатель корня

З 4 = 81 – возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня)

2 √16 = 4 – корень второй степени называется – квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4

3 √8 = 2 – корень третьей степени называется – кубичным.

Сложение и вычитание, умножение и деление, а так же возведение в степень и извлечение корня попарно представляют собой обратными действиями.

Правила первых четырех действий регулирующие взаимодействия с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением.

Источник

Основные арифметические действия: определения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим определения, общие формулы и примеры 4 основных арифметических (математических) действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение

Сложение – это математическое действие, в результате которого находится сумма.

Обозначается сложение специальным знаком “+“ (плюс), а сумма – “Σ“.

Пример: найдем сумму чисел.
1) 3, 5 и 23.
2) 12, 25, 30, 44.

Ответы:
1) 3 + 5 + 23 = 31
2) 12 + 25 + 30 + 44 = 111.

Вычитание

Вычитание чисел – это обратное сложению математическое действие, в результате коротого находится разность ( c ). Например:

Обозначается вычитание специальным знаком “–“ (минус).

Пример: найдем разность чисел.
1) 62 минус 32 и 14.
2) 100 минус 49, 21 и 6.

Ответы:
1) 62 – 32 – 14 = 16.
2) 100 – 49 – 21 – 6 = 24.

Умножение

Умножение – это арифметическое действие, в результате которого вычисляется произведение.

Обозначается умножение специальными знаками “·“ или “x“.

Пример: найдем произведение чисел.
1) 3, 10 и 12.
2) 7, 1, 9 и 15.

Ответы:
1) 3 · 10 · 12 = 360.
2) 7 · 1 · 9 · 15 = 945.

Деление

Деление чисел – это обратное умножению действие, в результате коротого вычисляется частное ( d ). Например:

Обозначается деление специальными знаками “:“ или “/“.

Пример: найдем частное чисел.
1) 56 разделим на 8.
2) 100 разделим на 5, затем на 2.

Ответы:
1) 56 : 8 = 7.
2) 100 : 5 : 2 = 10 (, ).

Источник

Загадка элементарной арифметики

Математика — царица всех наук,
арифметика — царица математики.
К.Ф.Гаусс

Как связаны между собой четыре арифметических действия? Вы будете смеяться, но отсутствие всестороннего ответа на этот вопрос существенно замедляет развитие физики, химии и связанных с ними наук. Ученые, к сожалению, могут только догадываться об этом торможении. Если бы этот вопрос был своевременно исследован, у нас не возникло бы проблем с развитием идей Д.И. Менделеева, а по результатам работы адронного коллайдера, вероятнее всего, создавались бы компьютерные модели элементарных частиц и ядер атомов.

В статье английской Википедии, посвященной арифметике, кратко характеризуются арифметические действия, приводятся их свойства, но об их взаимосвязи информации практически нет. В русскоязычном варианте указывается, что у всех действий арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, и в дополнение приводятся только идеи Непера, которые будут рассмотрены далее. В англоязычном описании арифметики и для такой скудной информации не нашлось места, при этом арифметика снисходительно характеризуется как старейшая и наиболее элементарная часть математики. Даже в литературе, посвященной истории арифметики, трудно найти информацию об исследованиях взаимосвязи арифметических действий. Сама история арифметики в основном посвящена теории чисел, которую иногда называют высшей арифметикой.

Поиски взаимоотношений арифметических действий шли в эпоху Возрождения [1]. В 1515 году в первом немецком учебнике арифметики, составленным Якобом Кёбелем, подчеркивается равноценность всех четырех действий. В 1518 г. Г. Грамматеус в сочинении «Новая легкая и точная книга о счете, о решении разных вопросов по тройному правилу и проч.» отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. В «Книге числа» Э. Мизрахи, вышедшей в Стамбуле в 1533 году, умножение рассматривается как частный случай сложения и не включается в число арифметических действий. В книге «Логистическое искусство», изданной в 1839 году по заметкам Непера 70-х годов XVI века, арифметические действия различаются по ступеням: умножение и деление характеризуются как действия более высшего порядка относительно сложения и вычитания.

Указанные идеи были началом исследования проблемы взаимосвязи арифметических действий. Но, вероятно, из-за недостаточного внимания к элементарной арифметике, решение не было найдено. Продолжим же поиски давно ушедшей эпохи и подсчитаем число солдат в колонне. Решение задачи сложением заключается в последовательном увеличении на единицу числа учтенных воинов до получения результирующей суммы. Подсчет можно ускорить, сосчитав число солдат в шеренге и умножив его на число шеренг в колонне. Теперь давайте разделим колонну на половины. При помощи вычитания можно последовательно отделять по одному солдату в каждую из двух новых колонн. Для ускорения счета можно разделить число шеренг пополам и пересчитать отделяемые шеренги.

Решение этих двух задач позволяет предположить, что умножение и деление при определенных условиях (в нашем случае это организация объектов счета в матрицу) являются обобщением соответственно сложения и вычитания. Обычно обобщения (назовем их обобщениями A) связываются с расширением какой-либо математической операции на ранее не используемую область. Следует ли говорить об обобщениях, если единственным результатом их использования является убыстрение вычислений (обобщения B)? Давайте скажем да и проанализируем результат.

Обобщения B проще обнаружить и их известно достаточно много. Предполагается, что изучение их свойств позволит предсказывать существование и свойства связанных с ними еще неизвестных обобщений A. Здесь можно использовать аналогию с геохимическими поисками месторождений. Рудные тела небольших размеров (тела A) включены в достаточно обширные тела повышенных содержаний химических элементов относительно фона. Первоначально задача нахождения тела A заменяется более легкой задачей нахождения тела B, в пределах которого и проводятся дальнейшие поиски.

В качестве обобщения умножения известен факториал натурального числа n, который интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Факториал определен в комбинаторике, но широко используется в математике. Существует также обобщение факториала для положительных вещественных чисел – гамма-функция, известная в математической статистике. Гамма-функция определена как расширения факториала для всех комплексных чисел, исключая отрицательные целые числа. Обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является также пи-функция. Перечень можно продолжить двойным факториалом, суперфакториалом и др.

А как же деление? На его основе обобщения неизвестны, но один случай просто нельзя оставить без внимания. Это деление одного числа на другое, когда они имеют одинаковую размерность или безразмерны. Случай разной размерности хорошо интерпретируются. Например, если путь в 6 км преодолен за 1 час, то, разделив путь на время, можно утверждать, что скорость движения равна 6 км/ч. Перейдем далее к пропорциональным величинам.

Принято считать, что две взаимозависимые величины являются пропорциональными, если отношение их значений не изменяется. Результат деления называется коэффициентом пропорциональности. Отношение содержаний золота и серебра в золотосеребряных месторождениях может служить примером коэффициента пропорциональности для величин одной размерности. Это важная геологическая информация. Руды мексиканского месторождения Пачука на 1 т золота содержат примерно 200 т серебра, то есть соотношение золота к серебру на этом месторождении составляет 1:200. Почему содержание золота необходимо делить на содержание серебра, а не наоборот? Потому что так принято и устраивает многих, но не автора статьи. Причина несогласия с принятым правилом деления кроется в необходимости как дальнейшего перехода к изучению пропорциональности безразмерных величин, так и увеличения числа величин, для которых вычисляется коэффициент пропорциональности.

В этих случаях результат деления чисел не понравится уже всем без исключения. Коэффициент пропорциональности атомной массы водорода и гелия можно вычислить по-разному: в виде дробей 1.008/4.0026 и 4.0026/1.008. Результат по степени неопределенности превосходит старый анекдот об умножении, в котором полковник утверждает, что дважды два примерно равно пяти и точнее для данных расчетов не надо. Фантазируйте с коэффициентами нашего примера! Воображения явно не хватит для вычисления одного коэффициента пропорциональности для трех и более чисел, например, атомных масс водорода, гелия и лития.

Более того, представляется необоснованным требование постоянства значения для коэффициента пропорциональности. Взаимозависимость величин тоже является отдельной проблемой. Распространение вычислений коэффициентов пропорциональности на множества из одного и более чисел было получено при помощи информационного коэффициента пропорциональности [2],[3],[4]. Его роднит с обычным коэффициентом пропорциональности важнейшее свойство сохранять свое значение при умножении исходных чисел на одно и то же число. Для вычислений используются уравнения теории информации и квадратная матрица 3×3, подобная полю для игры в крестики-нолики.

Если три исходных числа a, b и c взять по три раза и расположить в такой матрице так, чтобы все они присутствовали в каждой строке и столбце, то можно избавиться от необходимости «назначать» числители и знаменатели для расчетов. Например, три строки могут быть представлены как a, b, c; b, c, a и c, a, b. При перемене мест любых двух триад одних и тех же чисел информационный коэффициент пропорциональности не изменится. Вычисления коэффицента можно выполнить при помощи калькулятора пропорциональности, доступного для свободного использования в Интернете.

По аналогии для четырех чисел необходима матрица 4×4, для пяти – 5×5 и т.д. При этом возникает проблема: при использовании разных матриц невозможно совместно обрабатывать результаты расчетов. Универсальные расчеты можно делать с матрицей 3×3, вычисляя большое множество информационных коэффициентов пропорциональности. Числа в матрице распологаются случайно, а в качестве девятого элемента используется сумма восьми других. Исходные числа вместо одного коэффициента характеризуются распределением вероятностей множества информационных коэффициентов пропорциональности. Это привычно для математической статистики, в которой рассматриваются подобные распределения.

Две статьи, посвященные практическим приложениям информационных коэффициентов пропорциональности, вышли на русском языке в 2008 году в научном журнале Сибирского федерального университета и с момента выхода доступны в интернете для свободного ознакомления. Научные статьи на английском языке можно найти на сайте Корнельского университета (www.arxiv.org).

Насколько важны коэффициенты пропорциональности? Без них наше общение было бы невозможным, так как гравитационная постоянная Ньютона представляет собой коэффициент пропорциональности, обеспечивающий наше присутствие на Земле. Коэффициенты пропорциональности можно рассматривать и как важную характеристику химических соединений. Число химических элементов, встречающихся в природе, предельно возможные числа минералов, неорганических и органических химических соединений, вероятно, определяются соответственно как сочетания по 1, 2, 3 и 4 из 95 природных химических элементов. Предложена гипотеза, что распределения информационных коэффициентов пропорциональности для атомных масс химических элементов минералов и других химических соединений соответствуют распределениям указанных множеств для сочетаний по 2, 3 и 4 атомных масс 95 природных химических элементов [2],[3].

Такое странное соотношение химических элементов и химических соединений иначе невозможно объяснить. Минералы, например, содержат в своем составе до 12 химических элементов без учета примесей. Почему можно говорить об их количестве как о сочетании по 2 из 95? Объяснение такой закономерности связано с тем, что распределение вероятностей информационных коэффициентов пропорциональности атомных масс более двух химических элементов совпадают с таковым распределением для каких-то двух химических элементов.

Ответ на вопрос о важности использования информационных коэффициентов пропорциональности дает также представление структуры ядра атома любого химического элемента в виде куба, состоящего из 27 элементарных кубов [5], в сущности – кубика Рубика. В таком кубе содержатся целые числа от 1 до 8, в сумме составляющие 9. Эта структура подводит нас к объяснению числа изотопов каждого химического элемента и разной встречаемости изотопов в природе. Она также объясняет причины совместного нахождения химических элементов в природе, появления самородков одних химических элементов, например, золота и практического отсутствия других, например, олова. Программа, предназначенная для таких расчетов, также является доступной для любого исследователя.

Потенциал прикладного использования информационных коэффициентов пропорциональности громаден. С их помощью получены данные о возможном существовании в кварцевой жиле Васильевского месторождения золота Енисейского кряжа двойной спиральной структуры — возможного аналога ДНК [2]. Открытая программа Agemarker может быть использована для классификации горных пород и руд по результатам их химического анализа с одновременным определением их относительного возраста [6] (важнейшая задача в геологии).

При помощи этой программы минералы могут быть также объединены в пакеты периодической системы химических соединений [7]. Такое объединение минералов является ключом к аналогичной периодической систематизации всех неорганических и органических соединений в пакеты численностью по 95. Классификационный показатель вычисляется только на основе атомных масс химических элементов, а атомные массы в свое время позволили создать и Периодическую систему химических элементов.

Я заканчиваю статью утверждением, что в математике необходимы как практические, так и теоретические исследования информационных коэффициентов пропорциональности и разработка теории математических обобщений. Стартовой площадкой указанной теории может стать арифметика с проблемой обобщения действий сложения и вычитания. В математике известны обобщенные функции — возможно, пришло время определять обобщённые и обобщающие математические действия. Если обойти молчанием эти вопросы, то загадка арифметических действий может обернуться нарастающими проблемами, так как предлагаемые расчеты показателей пропорциональности, вероятно, незаменимы в медицине и экологии, как, впрочем, и в других естественных науках.

Источник

Репетитор ЕГЭ Репетитор ОГЭ (ГИА)

Чем больше ваш ребенок знает,
тем большей властью обладает.
Древняя мудрость

Единый государственный экзамен (ЕГЭ), Основной государственный экзамен (ОГЭ) или как его называли раньше ГИА, серьезное испытание в жизни любого учащегося. От его результата зависит, удастся ли ему получить желаемое образование и профессию, о которой он мечтает.

Хватает ли одной школьной подготовки для успешной сдачи ЕГЭ или ОГЭ?

Ответ очевиден – нет!

Школьная подготовка к ЕГЭ (ОГЭ) сейчас стала значительно лучше. Однако, для получения высокого результата по ЕГЭ (ОГЭ) одной школьной подготовкой, несомненно, не обойтись. Дополнительные занятия просто необходимы, причем индивидуально, а не в группе.

Здесь две проблемы:

А если нужно заниматься по двум предметам? Такую финансовую нагрузку позволить себе может далеко не каждая семья.

Выход из данной, казалось бы, безнадежной ситуации есть – поступить в «Твою Школу», где можно изучать физику и математику всего за 500 руб/месяц.

Даже если ученик круглый отличник и ему не нужны репетиторы, все равно необходимо ликвидировать «белые пятна», которые наверняка у него есть …

Если математика и физика для него — это инструмент для осуществления своей мечты о профессии, то этим инструментом необходимо владеть профессионально. Всякие хитрости здесь не помогут, если он «плавает» по этим предметам…

Школьники искренне считают, что они в общем все знают. «Белые пятна» просто не проявляются, пока дело не доходит до практики. И лучший вариант, если это будет практика учебная, а не «боевая»…

«Белые пятна» — самая большая проблема для современного школьного образования. Поэтому мы и создали «Твою Школу», которая устраняет «подводные камни» на пути учащихся.

И еще…

В «Твоей Школе» идет настоящий учебный процесс. Репетиторство в наше время — уже устаревшее явление. Оно было актуально во времена вступительных экзаменов в ВУЗы. Особенно прискорбно, что за последние годы появилось большое число лже-репетиторов, не имеющих высшего образования. Возможно некоторые из них и знают предмет, но не знакомы с методикой преподавания и школьной психологией. А знать самому это еще не значит уметь научить других – это совсем не одно и то же. Репетировать ЕГЭ и ОГЭ — бессмысленное занятие по нашему мнению. Хватит репетировать — нужно учить предмету полноценно и учить правильному системному мышлению!

«Твоя Школа» — это уникальная возможность гарантированно подготовиться на высоком уровне к сдаче экзамена на желаемый балл.

Готовиться к ЕГЭ и ОГЭ вместе с «Твоей Школой»: удобно в любое время и в любом месте.

И так…

Если Ты решил, что нужно повысить квалификацию — у Тебя есть возможность приступить к этому немедленно! «Твоя Школа» ждет Тебя и желает успеха!

Поступить в «Твою школу» очень просто: нажми на кнопку «Оформить заявку» и заполни регистрационную форму. Наш сотрудник обязательно свяжется с Тобой и ответит на все твои вопросы.

Добро пожаловать в «ТВОЮ ШКОЛУ»

Источник

Числовые и буквенные выражения

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

Это простые числовые выражения.

Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:

Это сложные числовые выражения.

Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).

Выражения с переменными

Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Задание раз.

Задание два.

Составьте буквенное выражение:

Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.

Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.

Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?

150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.

Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.

Источник