как доказать что средняя линия параллельна основанию
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.
Как найти среднюю линию треугольника?
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то 
Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Средняя линия треугольника
Определения
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).
Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.
Определение
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Теорема
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со сторонами \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соответственно (см. рисунок выше).
Тогда \(P_
Теорема
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство
Теорема (первый признак подобия треугольников)
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Теорема (второй признак подобия треугольников)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Теорема (третий признак подобия треугольников)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Теорема
Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.
Доказательство
Теорема Фалеса
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Доказательство
Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.
Определение
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство
1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.
Следствие
Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы
Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.
Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.
Определение и признаки средней линии треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.
Доказательство следует из теоремы Фалеса.
Теорема о средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.
Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.
Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.
По определению, MN – средняя линия ΔABC.
Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.
Доказательства
Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.
Следовательно, MN II AC.
Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.
Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.
Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,
По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.
Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.
Формула MN = ½AC следует из условий
поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.
Рассматривается сумма векторов
Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то
Отсюда следует, что
Из последнего равенства следуют условия теоремы.
Следствия из теоремы с доказательствами
Следствие №1
Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.
По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому
Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.
Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как
Следствие №2
Три средних линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобные заданному, с коэффициентом подобия ½.
Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.
Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.
Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.
Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.
Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.
Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.
По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.
Свойства средней линии треугольника
Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.
Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.
Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.
Средняя линия прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.
Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.
Пример решения задачи
Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.
Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.
Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.