как узнать сколько треугольников в треугольнике

Сколько треугольников в треугольнике?

Часто встречались мне такого плана задачки:

Ну, худо-бедно можно посчитать самому, сбиться пять раз и в итоге ответить неверно, ошибившись всего на пару значений. Попробуйте, сосчитайте сами…

Да черт с ним, с таким треугольником. А если в задаче дан вот такой, что делать прикажете:

Так я заинтересовался этим делом, а именно поиском точного способа вычислить количество треугольников. В идеале, должна получиться какая-то формула с одной переменной, думал я, и приступил к ковырянию в этой сраной треугольной помойке.

Глядя на первую картинку (а глядя на вторую — ещё заметнее) заметно ведь, что можно выделить треугольнички, которые смотрят вверх, и перевернутые. Обозначим количество нормальных за «a», а перевёртышей — за «b». Как зависит их количество от длины основания n, которое можно выразить как число самых мелких треугольников в основании?

Чтобы в этом разобраться, нужно посмотреть на эти самые разные треугольники:

Сосчитаем самые маленькие треугольники. При n=1 он и так один, при n=2 их уже 4, при n=3 их 9, при n=4 — 16,… Догадайтесь, сколько их будет при n=5? Очевидно, что их количество можно выразить простой, как всё простое, формулой: n². Но, теперь есть смысл посчитать количество a- и b-треугольников. Это дело я оформил в табличке:

Сразу заметно несколько вещей:

1) Число а-треугольников зависит от n и оно может является арифметической прогрессией. Формула количества самых мелких а-треугольников:

2) Сами последовательности, что а-, что b-треугольников, одинаковы, но для перевёртышей она «смещена» на 1.

3) Можно вычислить число b-треугольников исходя из следующего:

Отсюда x (оно же количество самых мелких b-треугольников) равно:

Похожи формулы, не так ли?

Но пока не об этом. Ведь у нас есть еще треугольники побольше. В том смысле, что считать мы должны не только самые маленькие, но и длиной в 1,2,3 и так до n отрезков. Как быть тут? Так же, как и с a- и b-мельчайшими — cчитать и сравнивать количество в зависимости от n. В итоге — снова таблица, только по массивнее и расширена до n=10 для лучшей наглядности:

Очевидно, что количество любых треугольников: мельчайших и самого большого, который всегда один; перевёртышей и нормально расположенных, задано одной и той же последовательностью. Разница лишь в том, что все они «сдвигаются» с увеличением n. Это даёт повод предположить, что формула для вычисления каждого типа треугольников одна и та же, и нужно только её отыскать. Кстати, количество b-треугольников длиной 1 рассчитывается так же, как и число a-треугольников длиной 2.

Поможет отыскать формулу построение графиков. Давайте построим графики уже известных нам функций 1* и 2* (см. выше):

Вот и зацепка: смещение графика по оси абсцисс. Причём смещение на единицу вправо с увеличением n на 1. Преобразуем формулы 1* и 2*:

Выходит, что вся разница именно в смещении, то есть одной переменной тут не обойдешься (вероятно). Введём переменную i, которая и будет отвечать за смещение графика. В результате получим:

Что же с b-треугольниками? Учитывая, что их последовательность сдвинута вправо изначально, формула остаётся той же, что и для а-треугольников с той разницей, что i варьируется от 0 до n. Однако, посмотрите на большую таблицу выше. С каждым изменением n на единицу последовательность смещается на 2 единицы. Получится для b-треугольников такая формула:

В итоге, сложив сложив алгебраические суммы этих функций, получается такая формула:

Теперь самое время подсчитать количество треугольников в том, огромном, что в самом начале статьи изображен, там n=28. В скобках расчёт второй части формулы:

4060+(378+325+276+231+190+153+120+91+66+45+28+15+6+1)=5985
Вот сколько их!

Update. Ещё пара идей.

Первая. Не будем разделять треугольники на «вверх смотрящие» и «вниз смотрящие». Будем работать с общим количеством их. Обозначим его как S.
Тогда при:
n=1, s=1;
n=2, s=5;
n=3, s=13;
n=4, s=27
n=5, s=48
и так далее…

Представим это в виде строк:

где каждой n должна соответствовать единственная s.

А теперь возьмем и вычтем из s(n+1) s(n), записав результаты сверху между слагаемыми:

Повторим то же самое, но уже для верхнего ряда:

И сделаем то же самое для верхнего ряда:

Предположим, что числа в верхнем ряду чередуются: 2-1-2-1-2. и т.д. Тогда мы спокойно можем посчитать число треугольников в зависимости от n, благодаря такому представлению чисел. Вот что получится:

И действительно, пересчитав треугольники со сторонами 6 и 7, получились те же значения s, что и при расчётах данным способом. Однако способ такой — также громоздкий. Но для проверки, посчитаем s при n=28:

Что и требовалось доказать. Тут можно понять, что функция, прямо связывающая s и n возрастает экспоненциально. Тут дело чисто за расчетами.

Ладно, теперь вторая идея:

Здесь всё-таки деление на нормально расположенные и «перевёртыши» необходимо. Возьмем треугольник с любым натуральным значением n. Снизу вверх в каждом ряду число нормально расположенных треугольников уменьшается на единицу. До тех пор, пока не останется самый маленький треугольник. Аналогично и с «перевёрнутыми», с той разницей, что их число изначально уменьшено на единицу. В принципе, это и описано в самом начале, где говорилось о «смещении последовательностей». Можно представить будущую формулу так (на примере n=8):

Здесь 8 и есть n. Соответственно 7=n-1; 6=n-2 и т.д. А 1=n-7=n-(n-1).

Вот, так и можно посчитать нормально расположенные треугольники. Формула будет выглядеть примерно так:

Так мы посчитаем первый ряд. Затем считать нужно все остальные ряды, меняя n на n-1 и т.д. Или же:

«Перевёртыши» считаем аналогично, но начиная со второго ряда и через ряд:

Источник

Сможете ли вы решить задачку для первоклашек?

Эта банальная логическая задача стара как мир. Все очень просто: посчитайте каждый отдельный треугольник, затем сложите все различные комбинации маленьких треугольников и обязательно не забудьте про большую общую фигуру. Вы ведь так делаете? При всей своей простоте, эта задача всегда вызывает массу споров и сотни комментариев с ответами в диапазоне от четырех до 45 (боже, откуда столько?).

Давайте сначала вспомним из школьной программы, что же такое треугольник. В евклидовом пространстве это геометрическая фигура (он же многоугольник с фиксированным числом углов), образованная тремя отрезками (стороны треугольника), которые соединяют три точки (вершины треугольника), не лежащие на одной прямой. Возможно, мы повторно взорвем ваш мозг, но есть так называемый вырожденный треугольник, вершины которого таки лежат на одной прямой. Живите теперь с этим.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трех отрезков, проведенных из трех разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. В нашем случае есть две чевианы, которые спускаются из верхнего угла на нижнюю сторону большой фигуры. Благодаря треугольнику появилась тригонометрия, планиметрия, а еще используя эту простую фигуру, люди научились составлять карты, измерять участки и конструировать. Даже «Черный квадрат» Малевича должен был называться «Черный китайский треугольник», и не спрашивайте, почему. Казимир Северинович унес эту тайну с собой на тот свет. В общем, при всей своей простоте полезная штука. Но мы отвлеклись.

Итак, еще раз посмотрим на нашу задачу. Те из вас, кто везде торопится, выдают сразу варианты ответов: шесть треугольников, 16, 22. Многие насчитывают 18 искомых фигур. Кто подотошнее считает, что на изображении нет ни одной прямой линии, а некоторые углы — не углы вовсе. Ну, конечно, это же нарисовано от руки! Для таких тут вообще нет ни одного треугольника. Зануды. Если вы все еще не нашли ответ и пытаетесь прочитать его в этом тексте, то остановитесь и просто посчитайте чертовы треугольники.

Ладно, давайте не будем играть в «Поле Чудес», а посмотрим на задачу с точки зрения науки. Единственный способ образовать треугольники на рисунке — это если верхний угол является частью каждого треугольника. Основание треугольника должно быть одним из трех горизонтальных уровней ниже. Получается, три уровня, на каждом вы можете выбрать базу для шести разных способов построения фигуры. В сумме выходит восемнадцать или три раза по шесть треугольников. Все варианты научного решения так или иначе крутятся вокруг этого способа. И да, вы же не забыли посчитать треугольник у стрелочки? Ладно, это была шутка. Или все же посчитали?

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

У нас уже была задачка про треугольники и вы в ее решении приняли активное участие.

Вот еще одна кажущаяся простой загадка сбила с толку пользователей интернета.

Простой рисунок, сделанный KumarAnkit для одного из сайтов, был распространён в фейсбуке тысячами пользователей. Это незамысловатый набросок представляет собой загадку, которая заключается в том, чтобы сосчитать все треугольники на картинке.

Многие пользователи были в недоумении, увидев рисунок. Ответы варьировались от четырёх до сорока четырёх.

Получится ли у вас найти правильный ответ?

Сначала попробуйте посчитать сами, дайте ответ в опросе, а потом смотрите правильный ответ:

[ ВОТ ТУТ ОТВЕТ ] Если вы тоже пытаетесь решить задачу, гораздо легче будет сделать это, зная стратегию.

Итак, 6 треугольников в верхнем ряду: 3 маленьких, две пары и один большой.

Во втором ряду также 6 треугольников, 6 в третьем и 6 в четвёртом – всё это подсчитывается с помощью той же стратегии.

Математик MartinSilvertant создал простую диаграмму, чтобы показать, как он сам сосчитал треугольники.

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Как узнать сколько треугольников в треугольнике

Предлагаем вам пройти тест на внимательность, сосчитав треугольники на картинке.

Посмотрите внимательно на это изображение. Перед вами шестиконечная звезда. Но она как видно состоит из треугольников, общее количество которых вам и нужно сосчитать. Итак, сколько треугольников изображено на этой картинке?

Ну как получилось посчитать все треугольники? Если вы посчитали и у вас получилось 12 треугольников, то придется посчиать еще раз, вы не учли все треугольники.

Подсказка:

Попробуйте учитывать большие треугольники, которые складываются из нескольких маленьких.

Внимание!

Ниже приведен правильный ответ!

Правильный ответ:

На этой картинке изображено 20 треугольников.

Решение:

На картинке 12 маленьких треугольников и определенное количество треугольников побольше, например два больших треугольника, состоящих из 9 маленьких(голубой треугольник на картинке ниже), 4 средних(зеленый треугольник на картинке ниже). Таким образом общее количество треугольников составляет 20.

Источник