как узнать площадь если стороны разные
Площадь неправильного четырехугольника
Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.
С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».
Как найти площадь неправильного четырехугольника?
Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.
где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.
Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.
где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.
В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.
Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.
Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника
В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.
Определения и соглашения
В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.
Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).
Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.
Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.
На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.
Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.
Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.
Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:
Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:
S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.
Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:
S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.
Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:
Заключение
S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра.
Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.
Видео
Разобраться в этой теме вам поможет видео.
Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами
Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.
Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.
По диагонали и стороне
Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:
Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.
Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.
По стороне и диаметру описанной окружности
Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.
Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:
А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.
Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.
По радиусу описанной окружности и стороне
Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.
Радиус = половине диаметра.
Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.
По стороне и периметру – 1 способ
Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).
Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.
Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.
По стороне и периметру – 2 способ
Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.
По диагонали и углу между диагоналями
Диагонали прямоугольника всегда равны.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.
Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ
Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ
Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.
Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.
Площадь четырехугольника
Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.
В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.
Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:
Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Таблица с формулами площади четырехугольника
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) | эскиз | формула | |
| 1 | диагональ и угол между ними | | |
| 2 | стороны и углы между этими сторонами | | Площадь частных случаев четырехугольниковДля вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта: ОпределенияЧетырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками. Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой. Формулы площадей всех основных фигур1. Формула площади круга через радиус или диаметрЗная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.
Формула площади круга, (S):
2. Формула расчета площади треугольника h — высота треугольника a — основание Площадь треугольника (S): 3. Площадь треугольника, формула Герона p— полупериметр, p=( a + b + c )/2 Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь. Формула площади прямоугольного треугольника, (S):
a — равные стороны 6. Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника. 7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны
Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь. Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):
8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула. Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
9. Формула расчета площади прямоугольника
Формула площади прямоугольника, (S): 10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону
11. Формулы площади параллелограмма1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
12. Площадь произвольной трапеции1. Формула площади трапеции через основания и высоту
Формула площади трапеции, (S):
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
Формула площади трапеции, (S):
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
Формула площади трапеции, (S):
13. Площадь равнобедренной трапеции1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
|
