как узнать площадь трапеции если известны все стороны

Площадь трапеции

Онлайн калькулятор

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:

основание a =
основание b =
высота h =

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Через среднюю линию и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:

средняя линия m =
высота h =

Чему равна площадь трапеции если известны средняя линия m и высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции средняя линия m = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

Через длины сторон и оснований

Чему равна площадь трапеции, если:

основание a =
основание b =
сторона c = сторона d =

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также стороны c и d?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 2 см, основание b = 6 см, сторона c = 4 см, а сторона d = 7 см, то её площадь:

Через диагонали и угол между ними

Чему равна площадь трапеции, если:

Чему равна площадь трапеции если известны диагонали d₁ и d₂ и угол между ними α?

Формула

Пример

Если у трапеции одна диагональ d₁ = 5 см, другая диагональ d₂ = 7 см, а угол между ними ∠α = 30°, то её площадь:

S = ½ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ sin (30) = 17.5 ⋅ 0.5= 8.75 см²

Площадь равнобедренной трапеции

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если:

средняя линия m =
сторона c =
угол α =

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Формула

Пример

Если у равнобедренной трапеции средняя линия m = 6 см, сторона c = 4 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 6 ⋅ 4 ⋅ sin (30) = 24 ⋅ 0.5 = 12 см²

Через радиус вписанной окружности

Чему равна площадь трапеции, если:

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если радиус вписанной окружности r, a угол при основании α?

Формула

Пример

Если у равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности r = 5 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 4 ⋅ 5² / sin (30) = 100 / 0.5 = 200 см²

Источник

Площадь трапеции по сторонам

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

Дано : ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

1) Проведем через вершину C прямую CL, CL∥AB.

Четырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

найдём площадь трапеции ABCD:

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

Дано :ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

Проведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

Аналогично, из треугольника ABK

Приравниваем правые части:

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

Для трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением — в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

2 Comments

Интересное утверждение в решении задачи 2: ‘Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, BK=CF=10 см.’
Если этот четырёхугольник — прямоугольник, то это ещё не значит, что он квадрат.
Не согласна с этим объяснением. Прокомментируйте подробнее.

Источник

Площадь трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b ). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:

Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

Источник

Все варианты того, как найти площадь трапеции

Многоликая трапеция. Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а₁ и а₂, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д₁ и д₂, а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в₁ и в₂, основание а₁ больше, чем а₂. Тогда формула площади примет такой вид:

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √ <(8-5) 2 + (7-7) 2 >= √9 = 3. Нижнее — СД = √ <(10-1) 2 + (1-1) 2 >= √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √ <(5-5) 2 + (7-1) 2 >= √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2 ). Задача решена.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2 ).

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Источник

Как найти площадь трапеции

Трапеция — геометрическая фигура, две противоположных стороны которой параллельны, а две других не параллельны. На рисунке трапеция изображается таким способом, чтобы параллельными оказались нижняя и верхняя стороны, которые получили название «основания». Верхняя сторона короче нижней. Такой рисунок используется для наглядности, так легче понять, как выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач.

Боковые стороны могут быть расположены под произвольными углами к основаниям. Если одна из сторон перпендикулярна основанию, то трапецию называют прямоугольной. При равных боковых сторонах — равнобедренной.

Важные линии трапеции

Для решения задачи нахождения площади трапеции необходимо использовать ряд линий, так или иначе характеризующих трапецию. Это высота, диагональ и средняя линия.

Высота — перпендикулярный отрезок, соединяющий верхнее и нижнее основание. На рисунках принято проводить перпендикуляр из вершины угла, чтобы не загромождать схему. Но на практике высоту можно опускать с любой точки верхнего основания.

Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины трапеции. У каждой трапеции две диагонали, разбивающие фигуру на два равных треугольника.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина линии равна половине суммы длин оснований.

Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий середины оснований. У равнобедренной трапеции совпадает с высотой.

Названные линии используются при вычислении площади трапеции. Это одна из геометрических фигур, площадь которой можно найти разными способами. Почему нужно знать все формулы, как найти площадь трапеции? В условиях задач часто приведена только часть данных о фигуре, например, углы и диагонали, длина сторон, средняя линия и высота и т.д.

Формулы площади трапеции

Для каждого, или почти каждого случая найдены готовые формулы, в которые остается только подставить числовые данные, чтобы найти площадь произвольной трапеции. Рассмотрим самые распространенные случаи.

Самый простой способ вычисления площади — по длине оснований и высоте. Зная эти величины, используем формулу S = 1/2(a + b)*h. Сначала найдем сумму длин оснований, затем разделим на два и умножим на высоту. Именно такой порядок действий даст желаемый результат. На практике, когда, например, нужно найти площадь трапециевидного земельного участка, используется чаще всего именно эта формула. Измерить длину оснований не сложно, как и высоту фигуры.

Вторая задача — как узнать площадь трапеции через длину средней линии. Вспомним, что длина этой линии равна половине суммы оснований. Фактически получаем ту же формулу, что и в предыдущем случае, только записываем ее по-другому S=mh, где m – длина средней линии.

Третья задача — как найти площадь трапеции через диагонали. Кроме длины диагоналей нужен еще и хотя бы один из углов между ними. Для определения площади достаточно умножить длины диагоналей между собой и затем на синус любого угла между ними. Эта задача не сложнее предыдущих, зная угол в градусах, найти синус можно по специальным таблицам.

Четвертая задача — как найти площадь трапеции, зная все стороны. Здесь все несколько труднее. Необходимо произвести ряд вычислений, не отличающихся большой сложностью, но занимающих некоторое время. Распишем процесс вычисления по алгоритму:

Все выглядит достаточно громоздко, но если воспользоваться готовой формулой, то не так и страшно.

Для равнобедренной трапеции формула упрощается:

Пятая задача — формула Герона для трапеции. S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d). Здесь тоже задействовано все четыре стороны и Р – полупериметр. Наиболее распространенная ошибка, когда вместо полупериметра, то есть суммы длин сторон разделенной на 2, используют периметр.

Шестая задача — площадь трапеции через синус угла. Для решения этой задачи нужно знать длину оснований и синусы углов при нижнем основании. Формула выглядит так: S=2(b2−a2)​⋅sin(α+β)sin(α)⋅sin(β). Для ее использование необходимы первичные знания по тригонометрии.

Седьмая задача — найти площадь трапеции, зная радиус вписанной окружности и длину оснований. Формула не представляет сложности S=r⋅(a+b)=​1/2​​√​a⋅b​​​​​⋅(a+b), важно только не перепутать порядок действий.

Формул для трапеции значительно больше, но владея теми, которые названы выше, вы справитесь с любой задачей.

Источник